概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第六章 随机变量数字特征一．填空题1. 若随机变量X 的概率函数为1.03.03.01.02.043211pX-，则=≤)2(X P ；=>)3(X P ；=>=)04(X X P .2. 若随机变量X 服从泊松分布)3(P ，则=≥)2(X P 8006.0413≈--e.3. 若随机变量X 的概率函数为).4,3,2,1(,2)(=⋅==-k c k X P k则=c1516. 4．设A ,B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P (A )=，P (B )=,则()P AB =____________.（） 5．设事件A 、B 互不相容，已知()0.4=P A ，()0.5=P B ，则()=P AB6． 盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的概率为____________.（13） 7．设随机变量X 服从[0,1]上的均匀分布，则()E X ＝____________.（12） 8．设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，则概率密度函数为 __.（k 33(=,0,1,2k!P X k e k -==L ）） 9．某种电器使用寿命X （单位：小时）服从参数为140000λ=的指数分布，则此种电器的平均使用寿命为____________小时.（40000）10在3男生2女生中任取3人，用X 表示取到女生人数，则X 的概率函数为11.若随机变量X 的概率密度为)(,1)(2+∞<<-∞+=x xa x f ，则=a π1；=>)0(X P ；==)0(X P 0 .12.若随机变量)1,1(~-U X ，则X 的概率密度为 1(1,1)()2x f x ⎧∈-⎪=⎨⎪⎩其它13.若随机变量)4(~e X ，则=≥)4(X P ；=<<)53(X P .14.．设随机变量X 的可能取值为0，1，2，相应的概率分布为 , ,，则()E X =15．设X 为正态分布的随机变量，概率密度为2(1)8()x f x +-=，则2(21)E X -= 916.已知X ～B （n,p ），且E （X ）=8，D （X ）=，则n= 。

17．设随机变量X 的密度函数为||1()()2x f x e x -=-∞<<+∞，则()E X = 0 二、单项选择题1．甲、乙、丙三人射击的命中率分别为、、，则三人都未命中的概率为( D ) A ． B. C. D.2．若某产品的合格率为，某人检查5只产品，则恰有两只次品的概率是( D )A ．· 25C D. 25C ··3则常数a =( B )A ．1/8 4 3 24．设随机变量X 的概率密度为2(21)2()x x f x -+-=，则X 服从( A )A ．正态分布 B.指数分布 C.泊松分布 D.均匀分布5．设随机变量~(,)X B n p ，且() 2.4,() 1.44E X D X ==，则参数,n p 的值分别为( B ) A ．4和 和 C. 8和 和6．设随机变量X 的概率密度为1,3<x<6,()30,f x ⎧⎪=⎨⎪⎩其他，则{}3<4=P X ≤ ( B )A ．{}1<2P X ≤ B.{}4<5P X ≤C.{}3<5P X ≤D.{}2<7P X ≤7. 设X 为随机变量且~(0,1)X N ，c 为常数，则下列各式中不正确的是（ D ） A ．(=0E X ） B.()()0E cX cE X ==C.()1D X =D. (+1)()D cX cD X c ==8.已知随机变量X 的概率密度函数为220;()0.x e x f x -⎧>=⎨⎩其它则X 的均值和方差分别为（ D ）A.()2,()4E X D X ==B. ()4,()2E X D X ==C.11(),()42E X D X == D. 11(),()24E X D X == 三．解答题1. 在10件产品中有2件次品，每次任取出一件，然后以一件正品放入。

假定每件产品被取到的可能性是相同的，用X 表示直到取到正品为止时的抽取次数，求X 的概率分布及期望，方差。

解:随机变量X 可以取值1，2，3. 8.010/8)1(===X P ， 18.0109102)2(=⋅==X P ，.02.01010101102)3(=⋅⋅==X P 所以，X 的概率分布为02.018.08.0321pX .所以()10.820.1830.02 1.22E X =⨯+⨯+⨯= 又因为2222()10.820.1830.02 1.7E X =⨯+⨯+⨯= 所以22()()() 1.7 1.220.2116D X E X E X =-=-=2. 在一坐写字楼内有5套供水设备，任一时刻每套供水设备被使用的概率都为，且各设备的使用是相互独立的。

求在同一时刻被使用的供水设备套数的概率分布；并计算下列事件的概率：（1）恰有两套设备被同时使用，（2）至少有3套设备被同时使用，（3）至少有1套设备被使用。

解:设同一时刻被使用的供水设备的套数为.X 则)1.0,5(~B X （二项分布）.于是，kk k k C k X P p -⨯===559.01.0)(，（=k 0，1，2，3，4，5），即00001.000045.000810.007290.032805.059049.0543210kP X . 07290.0)2(2===p X P ,00856.000001.000045.000810.0)3(543=++=++=≥p p p X P , 40951.059049.011)1(1)1(0=-=-=<-=≥p X P X P .3.若某型号电子元件的使用寿命)10000(~e X （单位：h ），（1）写出概率密度)(x f ；（2）求概率)15000(≥X P ；（3）求这样的5个独立使用的元件在15000小时后至多有两个能使用的概率。

.解:（1）随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧=-,0,)(10000100001xe xf .0,0≤>x x（2）⎰⎰+∞-+∞==≥150001500010000100001)()15000(dxedx x f X P x .2231.05.11500010000≈=-=-∞+-e ex（3）用Y 表示5个这样独立使用的元件在15000小时后仍能使用的个数， 则Y 服从二项分布),5(5.1-eB .于是.9228.023340.040638.028303.0)1()1()1()2()1()0()2(35.132545.15.11555.1555≈++≈-+-+-=++=≤-----e e C e e C e p p p Y P4.甲、乙两台自动机床，生产同一种标准件，生产2000只所出的次品数分别用X 、Y 来表示，经过一段时间的考察，X 、Y 的分布律分别为：问哪一台加工的产品质量好些质量好坏可以用随机变量X 和Y 的期望（均值）来作比较， E （X ）=0×+1×+2×＋3×=， E （Y ）=0×+1×+2×＋3×=由于E （X ）＜ E （Y ），即机床甲在2000件产品中次品平均数小于机床乙，因此可以认为机床甲的产品质量较好。

5.某台电子计算机，在发生故障前正常运行的时间X （单位：h ）是一个连续型随机变量且)10000(~e X ，（1）写出概率密度)(x f ；（2）求正常运行时间50h 到100h 之间的概率. （3）运行100h 尚未发生事故的概率.解:（1）随机变量X 的概率密度为1001100,()0,xe f x -⎧⎪=⎨⎪⎩ 0,0.x x ≥<（2）10010010050501(50100)()100x P X f x dx e dx -<<==⎰⎰=10011001250|x eee ---=-=-1001001001(100)()100x P X f x dx edx +∞+∞->==⎰⎰1100100xee -+∞-=-=4、设连续型随机变量X 的密度函数为01()0kx x f x <<⎧=⎨⎩，，其它，（1）求常数k 的值； （2）求概率()0.32P X << （3）(),()E X D X 解:由全概为1性,有12100()|)=122k kf x dx kxdx x +∞-∞===⎰⎰（,2k =所以. 所以()0.32P X <<=21210.30.30.3()2|0.91f x dx xdx x ====⎰⎰6、设连续型随机变量X的密度函数为201()0kx x f x ⎧<<=⎨⎩，，其它，（1）求常数k 的值； （2）求概率()0.32P X << （3）(),()E X D X 解:由全概为1性,有123100()|)=133k kf x dx kx dx x +∞-∞===⎰⎰（,3k =所以. 所以()0.32P X <<=212310.30.30.3()3|0.973f x dx x dx x ====⎰⎰1303()()34E X xf x dx x dx +∞-∞===⎰⎰ 又因为12243()()35E X x f x dx x dx +∞-∞===⎰⎰ 所以222333()()()()5480D XE X E X =-=-=7、某产品的长度（单位：mm ）2~(10.05,0.06)X N ,若规定长度在10.050.12mm ±之间为合格品，求合格品的概率.（(2)0.97725Φ=） 解：依题意2~(10.05,0.06)X N 所以(10.050.1210.050.12)P X -≤≤+10.050.1210.0510.0510.050.1210.05()0.060.060.06X P ---+-=≤≤10.050.1210.0510.050.1210.05()()0.060.06+---=Φ-Φ(2)(2)2(2)120.9772510.9545=Φ-Φ-=Φ-=⨯-=8、某年某地高等学校学生入学考试的数学成绩2(65,10)X N 近似的服从正态分布,若85分以上为优秀，问数学成绩优秀的学生大致占总人数的百分之几（(2)0.97725Φ=） 解：依题意2~(65,10)X N 所以(85)P X ≥658565()1010X P --=≥65(2)10X P -=≥651(2)10X P -=-< 1(2)10.9772510.022753%=-Φ=--=≈9．某地抽样调查结果表明，某次统考中，考生的数学成绩（百分制）X 服从正态分布N （72，2σ），且96分以上的考生占考生总数的%. 试求考生的数学成绩在60~84分之间的概率. （已知977.0)2(,8413.0)1(00=Φ=Φ）。