杭州师范大学《概率与统计 》练习题（1）参考答案
命题教师 杨益民
一、单选题（在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的序号填入题后的括号内。
每小题5分，共30分。
）
一、填空（共30分，每空格5分）
1．两封信随机地投入到四个邮筒，则前两个邮筒没有信的概率是： ( A )
A.0．25
B.0.3
C.0.45
D.0.98
2．袋内装有两个5分、三个2分、五个1分的硬币，任意取出5个，求总数超过1角的概率。
( B )
A.0．25
B.0.5
C.0.45
D.0.6
3．有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球。
由甲袋任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球，求取到白球的概率。
( A ) A.5
12 B.0.3 C.0.45 D.0.55 4．已知随机变量ξ只能取－1，0，1，2四个值，相应概率依次为1
2c
，
357,,4816,
c c c ，则常数c 的值是 ( A )
A.
37
16
B.1
C.2
D.12
5、已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常生产情况下服从正态分布，其方差
220.108σ=。
现在测定了9炉铁水，其平均碳含量为4.484。
，若要求有95%的可靠性，则该厂铁水平均碳含量的置信区间是 ( A )
A.4.484 1.96 4.484 1.96μ<<+
B. 4.484 2.58 4.484 2.58μ<<+
C. 22
4.484 1.96 4.484 1.96μ-
<<+
D. 22
4.484 2.58 4.484 2.58μ<<+ 6.某商店为了了解居民对某种商品的需要，调查了100家住户，得出每户每月
平均需要量为10kg,方差为9。
如果这个商店供应1000户，试就居民对该种商品的平均需求量进行区间估计（α＝0.01）,并依此考虑最少要准备多少这种商品才能以0.99的概率满足需要。
（ B ）
A.(10 1.96,10 1.96)-+
B. (10 2.58,10 2.58)
C. (10 1.96,10 1.96)-+
D. (10 2.58,10 2.58)
二、名词解析 (每小题5分，共10分。
)
7．全概率定理：如果事件A 1,A 2
,
构成一个完备的事件组，并
且都具有正概率，则对任何一个事件B,有：
P ()()()i i i
B P A P B A =∑
8．李雅普诺夫定理：设12,,
ξξ是互相独立的随机变量，有期望值E i i a ξ=及方
差D ()21,2,i i i ξσ=<+∞=，
若每个i ξ，对总和1
n
i i ξ=∑影响不大，令1
2
21
n
n i i S σ=⎛
⎫= ⎪⎝⎭
∑，
则
()2
2
011
()lim x
t n
i i
n i n
P a x e
dt x S ξ-
→∞=⎛⎫-≤==Φ
⎪⎝⎭
∑⎰
三、填空题（每空4分，共16分。
） 9．若ξ有概率密度：
()()
x b a b x λϕ α≤≤<={0 其 它
则称ξ服从区间[],a b 上的均匀分布。
试求λ＝1
b a
- 10、设随机变量ξ的概率密度是()2,F x ξξ则的分布函数是
(F F ξ
ξ
- 。
11、设ξ是区间[],a b 上均匀分布的随机变量，则D ξ=
()2
112
a b - 12、设ξ是参数为λ的指数分布则：E ξ=1λ-, D ξ＝2λ-
四、计算题（每小题8分，共32分。
） 13．假定某工厂甲、乙、丙3个车间生产统一中螺钉，产量
依次占全厂的45％、35％、20％。
如果各车间的次品率依次为4％、2％、5％。
现从待出厂的产品中检查出1个次品，试计算它是甲车间生产的概率。
解：设事件B 表示“产品为次品”，A 1、A 2、A 3分别表示“产品为甲、乙、丙车间生产的”。
显然，A 1、A 2、A 3构成一个完备事件组。
依题意有：
P ()1A =45% P ()2A =35% P ()3A =20% (2分)
P ()14%B A = P ()22%B A = P ()35%B A = (2分)
于是由贝叶斯公式有：
(2分)
()
()()
()()
1113
1
i
i
i P A P B A P A B P A P B A ==
∑
45%4%
45%4%35%2%20%5%⨯=⨯+⨯+⨯≈0.514 (2分)
14、同一品种的5个产品中，有2个正品。
每次从中取1个检验质量，不放
回地抽取，连续2次。
用"0"k ξ=表示第k 次取到正品，而"1"k ξ= 为第k 次取到次品（k=1,2）。
写出()12,ξξ的联合分布律。
解：试验结果共由4个基本事件组成，相应概率可按公式计算：
P {}{}{}121210,0000P P ξξξξξ=======21
0.154
⨯= (2分)
P {}{}{}121210,1010P P ξξξξξ=======23
0.354
⨯= (2分)
P {}{}{}121211,0101P P ξξξξξ=======32
0.354
⨯= (2分)
P {}{}{}121211,1111P P ξξξξξ=======32
0.354
⨯=
具体分布如下表： (2分)
15．根据长期经验和资料分析，某砖瓦厂生产砖的“抗断强度”ξ服从正态分布，方差2σ 1.21=。
现从该厂产品中随机抽取6块，测得抗断强度的平均值为
231.13/X kg cm =若设α＝0.05,试检验这批砖的平均抗断强度为32.50kg/2
cm 是否成立？
解：0:32.50H μ=.如果0H 是正确的，即样本()126,,
,X X X
来自正态总体N （32.50,1.12）,于是有：
()0,1
N ，因而选取统计量
U = （4分）
对于给定的α＝0.05,可以确定u α＝1.96,其中满足：().P U u αα>=这就是说，对于0H 拒绝与否的临界值u α＝1.96,再由取定的样本观察值实际计算得到U 的值，
3.05 1.96u =
≈>
最后结论是否定0H 。
（4分）
16、某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布。
现对操作工艺进行了某些改进，从中抽取5炉铁水测得含碳量数据220.228S =.若设α＝0.05,据此是否可以认为新工艺炼出的铁水含碳量的方差仍为0.1028? 解：220:0.108;H σ=.如果0H 是正确的，即样本()12,,,n X X X 的函数
()22210.108n S χ-=作为统计量于是有样本
来自正态总体N （μ,0.1082）,于是有：
()222
10.108n S χ-=()21n χ-， （4分）
对于给定的α＝0.05,可以确定2αχ及2b χ使
()222(10.108)2
b P n S α
χ->=， ()222
(10.108)2
a
P n S α
χ-<=
其中 ：2222
0.9750.275(4)0.484,(4)11.1a
b χχχχ====
具体计算统计量2χ的值有：
2
2
2
40.22817.82711.10.108
χ⨯=≈>
因而拒绝0H (4分)
五、证明题（每小题12分，共12分。
）
1．从总体ξ中取一样本()12,,
,n X X X ，E ξ＝μ，D ξ=2,
σ试证明样本平均数X 及样本方差2S 分别是μ及2σ的无偏估计。
证：11111n n
i i i i EX E X EX n n n n μ==⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑ （3分）
D 2211111n n
i i i i X D X DX n n n σ==⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑ （3分）
E 2
211()1n i i S E X X n =⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦
∑
=
()211
1n i E x X n μμ=⎡⎤---⎣
⎦-∑
=()2211()1n
i i E X n X n μμ=⎡⎤---⎢⎥-⎣⎦
∑
＝()22
11()11
n i
i n X E X n n μμ=-----∑ （6分）
证明完毕。