一 不等式 二 绝对值不等式
绝对值不等式
第一课时 第二课时
1. 两个数的和或差的绝对值, 与两个 数的绝对值的和或差的大小关系如何?
2. 两个数的和或差的大小关系的几何 表示是怎的?
1. 绝对值三角不等式
问题1. 将实数 a, b 用数轴上的点表示, 你能说
出 |a|, |b|, |a+b|, |a-b|, |a|+|b|, |a|-|b| 的几何意义吗?
∴|a+b|+|a-b|≥2|a|.
(2) ∵|2b|+|a-b|≥|2b+(a-b)| = |a+b|,
∴|a+b|-|a-b|≤|2b| =2|b|.
1. 求证: (1) |a+b|+|a-b|≥2|a|; (2) |a+b|-|a-b|≤2|b|.
证明: (1) ∵|a+b|+|a-b|≥|(a+b)+(a-b)| = |2a| = 2|a|,
|a+b|=|a|+|b|.
|a| a
b
|a+b| |b|
1. 绝对值三角不等式 定理 1 如果 a, b 是实数, 则
a
a
+
b
b
|a+b|≤|a|+|b|, 当且仅当 ab≥0 时, 等号成立.
证明: |a + b| = (a + b)2
|a|
|b|
ab
= a2 + 2ab+ b2 , ①
|
=
2,
|
x
+
1 x
|
2.
2. 用两种或两种以上方法证明
证明: 法二,
|
x
+
1 x
|
2
(
x
0).
|
x
+
1 x
|
=
(
x
+
1 x
)2
=
x2
+
1 x2
+
2Leabharlann 2x21 x2
+
2
= 2+2
= 2,
|
x
+
1 x
|
2.
2. 用两种或两种以上方法证明
证明: 法三,
|
x
+
1 x
|
2
(
x
0).
|
x
+
1 x
|
=
|
x
2+ x
往返一次, 要使两个施工队每天往返的路程之和最小,
生活区应该建于何处? 解: 以公路为数轴,
路碑
生活区
A
B
路碑为原点, 则两施工 地坐标分别为10, 20.
0
10 x0 20 x
设生活区的坐标为 x0 , 两施工队每天往返路程 之和为 S(x0), 则
S(x0)=2(|x0-10|+|x0-20|)
边, 两边之差小于第三边.
一个绝对值表示一边长,
即 |a|, |b|, |a+b|, |a-b| 分别表 示一条边长.
|a|+|b| 为两边之和, |a|-|b|
a b
a
-
b
|a-b|
为两边之差. (请写出结论)
1. 绝对值三角不等式 问题2. 绝对值有距离的几何意义, 向量的模也是 距离, 由此联想, 你能用向量来表示 |a|, |b|, |a+b|, |a-b|, |a|+|b|, |a|-|b| 吗? 它们的大小有什么几何意义?
x
由公段函数画=出2(|Sx0(-x01)0的|+图|20象-x可0|)看出最小值.
【课时小结】
1. 绝对值三角不等式
|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|
两边之差 小于第三 边.
两边之和 大于第三 边.
(定理1)
|a-b|
a
与
b
共线时等号成立.
【课时小结】
1. 绝对值三角不等式
|a-c|≤|a-b|+|b-c| (定理2)
≥|(b-a)+(x-b)| = |x-a|, ∴|x-a|-|x-b|≤|a-b|.
4.
已知
|
A-
a
|
e
2
,
|
B
-
b|
e
2
,
求证:
(1) |(A+B)-(a+b)|<e;
(2) |(A-B)-(a-b)|<e;
证明: (1) ∵|(A+B)-(a+b)| = |(A-a)+(B-b)|
≤|A-a|+|B-b|
一般地, 如果 a>0, 那么从绝对值的几何意义看, |x|<a 表示数轴上到原点的距离小于 a 的点的集合, |x|>a 表示到原点的距离大于 a 的点的集合, 因而
|x|<a -a<x<a; |x|>a x<-a 或 x>a. 因此, 不等式 |x|<a 的解集是 (-a, a); 不等式 |x|>a 的解集是 (-∞, -a)∪(a, +∞).
∴|a+b|+|a-b|≥2|a|.
(2) 或 ∵|a+b|-|a-b|≤|(a+b)-(a-b)| = |2b| = 2|b|,
∴|a+b|-|a-b|≤2|b|.
2. 用两种或两种以上方法证明
证明: 法一,
|
x
+
1 x
|
2
(
x
0).
x
1 x
=1
0,
|
x
+
1 x
|
=
|
x
|+
|
1 x
|
2
|
x||
1 x
|x|<a
-a<x<a
-a 0 a x
|x|>a
x<-a
-a 0
或 x>a
a
x
问题5. 根据问题 4 的讨论, 设 a>0, 对于不等式 |f(x)|<a, |f(x)|>a 怎样解?
AC
ac
AB
ab
B
bx
C
cx
O
a
b c
a
-
c
A
a
-
b
B
b-c
B 不在 AC 之间时, AC<AB+BC. C
B 在 AC 之间时, AC=AB+BC.
例 1. 已知 e >0, |x-a|<e, |y-b|<e, 求证: |2x+3y-2a-3b|<5e.
证明: ∵|2x+3y-2a-3b| = |2x-2a+3y-3b|
∴|(A+B)-(a+b)|<e.
e
2
+
e
2
=e,
(2) ∵|(A-B)-(a-b)| = |(A-a)+(b-B)|
≤|A-a|+|b-B|
=
|A-a|+|B-b|
e
2
+
e2=e,
∴|(A-B)-(a-b)|<e.
5. 求函数 y=|x-4|+|x-6| 的最小值.
解: y=|x-4|+|x-6| =|x-4|+|6-x| ≥|(x-4)+(6-x)| =2,
|a+b|
当 ab≥0 时, ab=|ab|,
当 ab<0 时, ab= -|ab|,
① = |a|2 +2|ab|+|b|2
① = |a|2 -2|ab|+|b|2
= (|a|+|b|)2
|a|2 +2|ab|+|b|2
= |a|+|b|;
= (|a|+|b|)2 = |a|+|b|.
问题 3. 已知 a, b, c 是实数, 你能根据定理 1, 证明 |a-c|≤|a-b|+|b-c| 吗?
|a-c|≤|a-b|+|b-c|
(a-b)(b-c)≥0 时, 等号成立.
第 1、2、3、4、5 题.
1. 求证: (1) |a+b|+|a-b|≥2|a|; (2) |a+b|-|a-b|≤2|b|.
证明: (1) ∵|a+b|+|a-b|≥|(a+b)+(a-b)| = |2a| = 2|a|,
=2(|x0-10|+|20-x0|)
例2. 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地
点施工, 这两个地点分别位于公路路碑的第 10 km 和
第 20 km 处, 现要在公路沿线建两个施工队的共同临
时生活区, 每个施工队每天在生活区和施工地点之间
往返一次, 要使两个施工队每天往返的路y程之和最小,
生活区应该建于何处?
证明: |a-c| = |a-b+b-c| = |(a-b)+(b-c)| ≤|a-b|+|b-c|,
当且仅当 (a-b)(b-c)≥0 时, 等号成立.
定理 2
如果 a, b, c 是实数, 那么 |a-c|≤|a-b|+|b-c|,
当且仅当 (a-b)(b-c)≥0 时, 等号成立.
几何意义如图:
|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.