均值不等式题型归纳
一、拼凑求最值
1．函数y ＝x ·(3－2x ) (0≤x ≤1)的最大值为______________．
2．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4
有( ) A ．最大值54 B ．最小值54
C ．最大值1
D ．最小值1
3．当x >1时，不等式x ＋1x －1
≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．(－∞，3]
二、“1”的代换
1．若正数x 、y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )
A ．245
B ．285
C ．5
D ．6
三、实际应用
1．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓
储时间为x 8
天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
A ．60件
B ．80件
C ．100件
D ．120件
2．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为__________元．
3．一批救灾物资随17列火车以v km/h 的速度匀速直达400km 以外的灾区，为了安全起见，
两列火车的间距不得小于(v 20
)2km ，则这批物资全部运送到灾区最少需__________h.
4．某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．试求：
(1)仓库面积S 的取值范围是多少？
(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？
四、公式直接应用
1．已知2x ＋3y ＝2(x >0，y >0)，则xy 的最小值是________．
2．已知m 、n ∈R ，m 2＋n 2＝100，则mn 的最大值是( )
A ．100
B ．50
C ．20
D ．10
3．已知x 、y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________．
4．已知正数x 、y 满足1x ＋4y ＝1，则xy 有( )
A ．最小值116
B ．最大值16
C ．最小值16
D ．最大值116
五、二次函数观点
1．若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________．
2．若正实数x 、y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．
二、填空题
1．若a <1，则a ＋1
a －1有最______(填“大”或“小”)值，为________．
2．若对任意x >0，x
x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围为________．
3．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是
( ) A.72 B ．4 C.92 D ．5
4．设0<x <2，求函数y ＝3x (8－3x )的最大值．
5．若xy 是正数，则⎝⎛⎭⎫x ＋1
2y 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋1
2x 2的最小值是 (
) A ．3 B.72 C ．4 D.92
6．设x >－1，则函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)
x ＋1的最小值是________．。