有唯一 有无穷多个
可能有多个
例： 令
平衡点
4. 孤立的平衡状态：在某一平衡状态的 充分小的领域内不存在别的平衡状态。 对于孤立的平衡状态，总可以经过适 当的坐标变换，把它变换到状态空间的 原点。 以后取坐标原点作为平衡点研究。
5. 范数的概念
范数的定义 n为状态空间中，向量x的长度 称为向量x的范数（或欧几里德范数），用 表示
（4）经典控制中的系统稳定指渐近稳定，而李 氏意义下的稳定包括临界稳定。
（5）线性系统的平衡状态不稳定 表征 系统不稳定。
（6）非线性系统的平衡状态不稳定 只说明存在局域发散的轨迹。
至于是否趋于无穷远
域外是否
存在其它平衡状态。若存在极限环，则
系统仍是李雅普诺夫意义下的稳定性。
例：分析系统李亚普诺夫意义下的稳定性。 解：系统的平衡状态为
主要内容： 李氏第一法（间接法）：求解特征方程
的特征值 李氏第二法（直接法）：利用经验和技
巧来构造李氏函数
5.1 李氏稳定性基本概念
1.自治系统：输入为零的系统
2.初始状态
平衡状态xe在状态空间所确定的点，称平衡点。
a.线性定常系统 A非奇异： A奇异： b.非线性系统
则称系统的平衡状态 是李雅普诺夫意义 下稳定的。
即：系统的运动曲线不超出
，则系统稳定。
时变： 与 有关 定常系统： 与 无关， 是一致稳定的。
几何意义 范数
划出了一个
球域 它能将系统解的所有各点都包围在内
。即从 出发的轨迹，在t>t0的任何时刻
总不会超出
。
等幅振荡在李氏意义下是稳定的。
2. Lyapunov意义下渐近稳定性 1）是李氏意义下稳定的 2） 平衡状态是渐近稳定的。
系统状态解为
系统状态与平衡状态之间的范数：
系统的状态不收敛到平衡状态，系统是稳定，但是不是渐近 稳定。虽然系统有无穷个平衡状态，但系统为线性定常系统 ，只分析原点的稳定性即可。
5.3 李雅普诺夫第一法（间接法）
利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。 1. 线性定常系统稳定性的特征值判据：
（1）李氏稳定的充要条件：
系统的平衡状态
勇于开始，才能找到成 功的路
非线性系统各个平衡点的稳定性不相同。
3. BIBS稳定与 BIBO稳定
（1）以上的稳定性指系统的状态稳定性，称 为系统的内部稳定性，即有界输入、有界状 态（BIBS）稳定。
（2）任意有界输入
作用下，均有输出
有界，称为系统外部稳定性，即有界输入、
对于一个给定的控制系统，稳定性分析通 常是最重要的。如果系统是线性定常的， 那么有许多稳定性判据，如RouthHurwitz稳定性判据和Nyquist稳定性判据 等可利用。然而，如果系统是非线性的， 或是线性时变的，则上述稳定性判据就将 不再适用。
❖ 经典控制理论稳定性判别方法：代数判 据，奈魁斯特判据，对数判据，根轨迹 判据
向量x与xe的距离为
当x-xe的范数限定在某一范围之内时，记为
它的几何意义，在三维状态空间中以xe为球心， 以 为半径的一个球域，可记为
5.2 Lyapunov意义下的稳定性
1.Lyapunov意义下的稳定性（稳定和一致稳定）
定义： 对于系统
如果对任意实数
都对应存在另一个实数
使得一切
满足
的任意初始状态 出发的运动轨迹（状态方程的解） 在所有时间内都满足：
❖ 非线性系统：相平面法(适用于一，二 阶非线性系统)，描述函数法。
Lyapunov意义下的稳定性问题 本节所要介绍的Lyapunov第二法（也 称Lyapunov直接法）是确定非线性系统 和线性时变系统的最一般的方法。当然， 这种方法也可适用于线性定常系统的稳定 性分析。此外，它还可应用于线性二次型 最优控制问题。
雅可比矩阵
勇于开始，才能找到成 功的路
令
则线性化系统方程为：
结论：
(1)若
，则非线性系统在
处是渐近稳定的，与 无关；
(2)若
则非线性系统在 是不稳定；
(3)若
，稳定性与 有关，即非线性
系统平衡状态 的稳定性与函数展开的高阶
项 有关。
例：系统的状态方程为： 系统的平衡状态
例：单摆系统的状态方程为：
即系统矩阵A的全部特征值位于复平面左半部。 （2）李氏渐近稳定的充要条件：
2.非线性系统的稳定性分析： 假定非线性系统在平衡状态附近可展开成
泰劳级数，可用线性化系统的特征值判据判断 非线性系统的平衡状态处的稳定性。
设非线性系统状态方程：
--非线性函数
在平衡状态 于是：
附近存在各阶偏导数，
其中： --级数展开式中二阶以上各项之和
几何意义：稳定下任意状态轨迹最终收敛于xe. 即轨迹不会超出 ，且最终趋于平衡点。
平衡状态一致渐近稳定
3.Lyapunov意义下大范围内渐近稳定性 对 都有
初始条件扩展到整个空间，且是渐近稳定。
❖大范围渐近稳定的必要条件：系统只能有一 个平衡状态。 ❖线性系统(严格)：如果它是渐近稳定的，必 ❖ 是有大范围渐近稳定性(线性系统稳定性与 初
1.系统自由响应 稳定；
有界，则平衡状态
2.如果
不仅有界，而且收敛于平衡
状态则平衡状态渐近稳定；
3.如果
无界，则平衡状态不稳定；
结论：
（1）线性系统：任一孤立平衡状态，均可坐标 变换转移到原点，分析原点的稳定性具有代表性 ；
（2）非线性系统：各个平衡点的稳定性不同， 分析各个平衡状态的稳定性；
（3）对于线性系统：平衡状态是渐近稳定，则 一定是大范围渐近稳定；
❖ 始条件的大小无关)。 ❖非线性系统：只能在小范围一致稳定，由状
当 与 无关 大范围一致渐近稳定。
4. Lyapunov意义下的不稳定性 不管 ， 有多小， 只要由 内，由 出 发的轨迹超出 以外， 则称此平衡状态 是 不稳定的。
从定义看，球域
限制初始状态
值，球域
规定了系统自由响应
的边界。
的取
第5章控制系统稳定性理 论
2020年4月22日星期三
❖ 研究的目的和意义:稳定性是自动控制系统正常 工作的必要条件，是一个重要特征。
❖ 要求：在受到外界扰动后，虽然其原平衡状态 被打破，但在扰动消失后，仍然能恢复到原来 的平衡状态，或者趋于另一平衡状态继续工作 。
❖ 稳定性：系统在受到小的外界扰动后，系统状 态方程解的收敛性，而与输入作用无关。