2、内部稳定性：指系统在零输入条件下通过其内部状态变化 所定义的内部稳定性。状态稳定。
外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于线性系 统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统，只有在 满足一定的条件下两种定义才具有等价性。
不管哪一种稳定性，稳定性是系统本身的一种特性，只和系统 本身的结构和参数有关，与输入－输出无关。
V ( x)半负定
同时有
& V
(
x
)
-
2
x22
不可能恒为零。
由判据2可知，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。
27
4.5 李雅普诺夫方法 在线性系统中的应用
28
一、线性定常连续系统的稳定性分析
目的：将李氏第二法定理来分析线性定常系统 x& Ax 的稳定性
讨论：V选&(x择) 二(x次T P型x)函 x&数T PVx +(xx)TPxx& TP(xAx为)T P李x +氏x函T PA数x。
如果d 与初始时刻 t0无关，则称平衡状态xe为一致渐近稳定。
渐近稳定几何表示法：
10
3、大范围渐近稳定
如果对状态空间的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐
近稳定特性，即：lim x t
- xe
0
对所有点都成立，称平衡状态xe为大范围渐近稳定的。其
渐近稳定的最大范围是整个状态空间。
必要性：整个状态空间中，只有一个平衡状态。 （假设有2个平衡状态，则每个都有自己的稳定范 围，其稳定范围不可能是整个状态空间。）
（2） 求系统的特征方程：
det(lI
-
A)
l
- 1
求得： l1 2，l2 -3
系统不是渐近稳定的。
-6
l + 1
(l
-
2)(l
+
3)
0
15
4.4 李雅普诺夫判稳第二方法
李氏第二法思路：直接法，用能量观点分析稳定性
▪1）如果系统的某个平衡状态是渐近稳定的，
即
lim x
t
xe
。那么随着系统的运动，其贮存的能量
)
令 x&1 0, x&2 0 ，得 x1 0, x2 0 是系统唯一的平衡状态。
2）选取李氏函数
选 V ( x) x12 + x22 ，则 V ( x) x12 + x22 >0 正定的
& V
(
x
)
2
x1
x& 1
+
2
x2
x&
2
] ]
2 x1
x2
-
x1( x12
+
x22 )
+ 2x2
的X的运动轨迹有
lim
t
x
-
xe
e
，
则称平衡状态
x
在李雅普诺
e
夫意义下是稳定的。
如果 d 与初始时刻 t0 无关，则称平衡状态是一致稳定的。
李氏稳定几何表示法：
9
2、渐近稳定和一致渐近稳定
设xe为系统的孤立平衡状态，如果它是李氏稳定的，且当t趋
向于无穷大时，有：
lim x
t
- xe
0
即收敛于平衡状态xe，则称平衡状态xe为渐近稳定的。
4、孤立平衡状态：如果多个平衡状态彼此是孤立的，则称这 样的状态为孤立平衡状态。单个平衡状态也是孤立平衡状态。
7
二、状态向量范数
▪ 符号 • 称为向量的范数， x - x e 为状态向量
端点至平衡状态向量端点的范数，其几何意义为
“状态偏差向量”的空间距离的尺度，其定义式
] 为：
x - xe
(x1 - xe1)2 + (x2 - xe2 )2 +L+ (xn - xen )2
而 V (x) 就是李氏函数。
16
李雅普诺夫函数说明： 1）李氏函数是一个标量函数，且为正定，其一阶导 数为(半)负定。 2 ）对于给定系统，如果存在李氏函数，它不是唯 一的。用第二法判稳时，找到一个李氏函数就 可以。 3 ）李氏函数最简单形式是二次型 V(x) xTPx ，P是 正定实对称方阵。
3
4.1 动态系统的外部稳定性
有界输入，有界输出稳定性定义：
对于零初始条件的因果系统，如果存在一个固定
的有限常数 及k一个标量 ，使a得对于任意的 ，
当系t统t的0, 输入 满足
时u，t 所产生的u(t输) 出k 满
足 ,则称该因果系yt统 是外部y(稳t) 定a的k ，也就是有
界输入-有界输出稳定的，简记为BIBO稳定。
判据1：设系统的状态方程为 x& f ( x)
xe 0 为其平衡状态， 如果有连续一阶偏导数的标量
函数V ( x) 存在，并且满足以下条件：
1） V( x)是正定的。
2）
& V
(
x)是负定的。
则在原点处的平衡状态是渐近稳定的。如果随着 x ， 有 V ( x) ，则原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。
-
x2
试确定其平衡状态的稳定性。
[解]：1）平衡状态 令 x&1 0, x&2 0 ，得 x1 0, x2 0 是系统唯一的平衡状态。
2）选李氏函数
V ( x) x12 + x22 > 0 正定
& V
(
x
)
2 x1 x&1
+ 2 x2 x&2
-
2
x
2 2
&
x1
0,
x2
0
时，
& V
(
x
)
0
x1 0, x2 0 时，V& ( x) 0
17
一、标量函数(x)的符号性质
标量函数V(x)：
1）正定性：当且仅当x=0时，才有 V ( x) 0 ；对任意 非零X，恒有 V ( x) >0 ，则 V ( x) 为正定。
2）负定性：当仅当X=0时，才有 V ( x) 0 ；对任意非零 x,恒有 V ( x) <0 ，则V ( x)为负定。
1）二次型 V (x) xT Px 为正定，或实对称矩阵P为正定的充要
条件是P的所有主子行列式均为正，即：
p11
P
p21
p12 p22
L L
p1n
pL2n
pn1
pn2 L
pnn
如果
D1 p11 > 0,
D2
p11 p21
p12 p22
> 0,L , Dn
P
>0
则P为正定，即V(x)正定。
它具有连续的一阶偏函数，且满足下列条件：
V(x) 在原点的某一邻域内是正定的，
& V
(
x)
在同样的邻域内是正定的，
则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。
25
[例] 设系统方程如下，试确定其平衡状态的稳定性。
[解]：1）平衡状态
x&1 x&2
x2 - x1( x12 + x22 ) - x1 - x2 ( x12 + x22
说明 ： 1、对于线性定常系统：x&e f ( xe ) Ax 0
A为非奇异阵时，x=0是其唯一的平衡状态。 A为奇异阵时，系统有无穷多个平衡状态。 2、对于非线性系统，有一个或多个平衡状态。
3、对任意 xe 0 ，总可经过一定的坐标变换，把它化到坐标 原点（即零状态）。一般将平衡状态取为状态空间原点。
-
x1 -
x2 ( x12
+
x
2 2
)
-2 ( x12 + x22 )2 < 0 负定的
由判据1可知，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。
3）当 X
，即
1
x12 +
x
2 2
2
，得V ( x)
x12
+
x22
26
则在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。
[例] 设系统方程为：
xx&&12
x2 - x1
结论：如果线性定常系统是渐近稳定的，则它一定是大范 围渐近稳定的。
11
4、不稳定
如果对于某一实数e > 0 ，不论 d 取得多么小，由 S(d )内
出发的轨迹，只要有一个轨迹超出 S(e ) ，则称平衡状态xe是 不稳定的。
不稳定几何表示法：
说明：虽然不稳定的轨迹超出了S(e ) ，但并不一定趋向于 无穷远处，有可能趋向于 S(e ) 外的某个极限环。
第四章 控制系统的稳定性分析
1
主要内容
1. 动态系统的外部稳定性 2. 动态系统的内部稳定性 3. 李雅普诺夫判稳第一方法 4. 李雅普诺夫判稳第二方法 5. 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用
2
稳定性是控制系统能否正常工作的前提条件。
控制系统的稳定性，通常有两种定义方式：
1、外部稳定性：是指系统在零初始条件下通过其外部状态， 即由系统的输入和输出两者关系所定义的外部稳定性。有界输 入有界输出稳定(BIBO)。
说明：判据1是充分条件，判稳过程是寻找李氏函数V(x)，如果没
找到，不能判断系统不稳定，只是可能还没有找到而已。
23
判据2：设系统的状态方程为 x&f(x)
xe 0 为其唯一的平衡状态， 如果有连续一阶偏导数
的标量函数 V ( x) 存在，并且满足以下条件：
1） V (x) 是正定的。
2）
& V (x )
12
4.3 李雅普诺夫判稳第一方法