高中新课标数学必修一2.3幕函数知识梳理一.定义一般地，函数y = √z叫做幕函数，其中X是自变量，α是常数.典例解析题型一:幕函数的概念例1 •有下列函数(Dy = √x;(2)y = X°；(3)y = 2"; (4)y = x",J (5)y = 3x2; (6) y = X2 +1; ⑺y = _丄.X貝中，是幕函数的有__________________ （只填序号）•规律方法：⑴理解幕函数y = X a的概念应注意以下几点:①以底为自变量的形式呈现;②指数α是常数,且α e R;③系数为1・⑵幕函数与指数函数的区别：指数函数y=a x-自变量（全体实数）I一底数（大于O且不等于1）幕函数y=Λ*" --------- 常数〔只研究α=l,2,3，―）・1）I一自变量（与α的取值有关）例2•已知函数/⑴=（加2_加_1冲-3 ,加为何值时,f（x）：⑴是幕函数；⑵是幕函数，且是（0, + s）上的增函数：⑶是正比例函数;⑷是反比例函数；⑸是二次函数.规律方法：本题将正比例函数，反比例函数，二次函数和幕函数放在一起考査，转化为系数和指数的取值问题，要注意区别它们之间的不同点，根据各自定义：①正比例函^y = kx （k≠0）t②反比例函^y =-（k≠0）t③二次函数y = ^2+^v + c（^≠0）;④幕函数y = xα（α是常数）•题型二：幕函数的图象例3•如图所示的曲线是y = Λ"在第一象限的图象，已知αj∙4「丄丄则相应于曲线GGG,C4的4 4 「值依次为（）4 1 IA. —4 , ——，一4・B. 4 ,-4 4 4C. 一丄.-4,4. 1•D. 4 ,丄4 4 432例4•给泄一组函数解析式: (l)y = F; (2)y = x j;⑺y = √和一组函数图象，请把图象对应的解析式号码填在图象下而的括号里.3规律方法:1•農函数的指数与图象特征的关系:当a ≠ 0,1时爲函数y =屮在第一象限的图象特征:α取值a>∖ OVaVl a<0y1/r ,图象1 y I AO1X_VLA ___________ ——k ―≡ ►a 1 X σ∖ ∖ X 特殊点 过(0,0), (1,1)过(0,0), (1,1)过(1,1) 凹凸性 下凸 上凸 下凸 单调性 递增 递增 递减举例y = X 21y =1y =χ~'9y = x 22・農函数y = x α随着a 值的改变图象的变化规律是:随着a 的由小变大■图象在直线X = 1的右侧,由低到高. 认识幕函数的图象重点在于掌握其特征•对于y = x σ,当QVo 时,在第一象限内为双曲线形;当0 < α V1 时,在第一象限内为抛物线形,且开口向右;当α > 1时,在第一象限内为抛物线形,且开口向上•题型三:幕函数的定义域例5.求下列函数的泄义域规律方法:α题型四：幕函数的性质及应用例6•比较下列各组数的大小. 5 5 8 I 8 ⑴ 3 2 与3・1 2；(2)-8 9 与 一 (一)9；92 ・- ZT-- 2 .Z 丄 (3)(.-)3与(__) 3；(4)4∙153∙8∖(-1∙9)5.36(l)y = Λj ; _3 (4) y = X7;⑵ y = x^ ∖3(5)y = (χ + 2f ・(3) y = x 丁;例7•已知幕函数/C) = MiL3,仏UM)的图象关于y 轴对称，且在(o, + s)上是减函数:In m⑵求满足(a + 1)~<(3-2«)~的G 的取值范味规律方法：⑴•单调性:幕函数y = Λ-α在第一象限的图象特征:①当Q >1时,图象过点(0,0),(,1,1)递增,如y =疋.②当 丄 OVaVl 时,图象过点(0,0>(,l,l)递增,如y = x 7.@当α V 0时,图象过点(1,1)递减,且以两坐标轴为渐进线,如 y = x~,.(2)= X Λ的奇偶性的判断方法.同步练习一. 选择题⑴求/3)的解析式: ⑶讨论 F(X) = (I y l /(x) +b5)的奇偶性.1•已知幕函数y = /(x)的图象经过点(4,扌),则/⑵=( )A. -B. 4c∙返D. y ∖24222 •函数y = √的图象大致是()3 2 2 ■3.a = (-)∖Z? = (-)∖c = (-)5 ,则小C 的大小关系是()A. a>c>bB. cι>h>c4 •下列说法正确的有( ) ⑴幕函数的图象均过点(IJ):⑵幕函数y = χ"1在(-OO)上单调递减,在(0, + s)上也单调递减,因此幕函数y = r 1是左义域内的单调函数；⑶幕函数的图象均在两个彖限岀现：⑷幕函数在第四象限可以有图象：⑸当 d>0时,幕函数在第一象限内均为增函数：⑹任何两个幕函数的图象最多有三个交点.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5.下列不等式在b<a<O 的条件下成立的是()1£ 2 2A. Cr X >b^B. a 3 <b 3C. b 2 <a 2D. a 3 >b 3 6•若OVaV ” V1 ,则下列不等式成立的是()A. (l-α)∣>(l -β)f,B. (l + a)">(l+/"C. (l-a)fe >(l-tι)lD. (l -aj , >(l-^)b7•图中C 1,C 2,C 3为三个呈函数)，= _?在第一象限内的图象,则解析式中指数R 的值依次可以是()A. — 1, — ,3B. —13—C. —,— 1,3D. —,3,-12 2 2 2 y2二. 填空题C. c>a>bD. b>c>aO 1 X -1&幕函数y = 0屛_伽+1902”T的图象不过原点,则In的值为 ___________________________ .9.函^y = (X-Ip的单调区间为________________________ .10•函数y = (//LV2 +4x + 2)^2 +χ2 -InX +1的泄义域为R .则m的取值范囤 ______________________ .三.解答题11 .已知幕函数/(Λ)=丿"'+"F,(加∈7V*).⑴试确泄函数的定义域,并指明函数在左义域上的单调性；⑵若该函数还经过(2,λU),试确定m的值,并求满足条件f(2-a) > f(a -1)的取值范围.12.已知幕函数/(Q =疋"八2",(用e Z)为偶函数,且在(0, + OO)上单调递增.⑴求/(X); ⑵设g(x) = JTG) + 2x + C,若g(x)> 2,对于XWR恒成立,求C的取值范用.能力挑战1.已知/(x)=芒"，+，”+3伽e Z)为偶函数,且/⑶V /⑸•⑴求〃7; ⑵若^(X) = IOg fl[/M-«4(« > 0且α ≠ 1),在[2,3]上为增函数,求“的取值集合.」2 32•已知幕函数/(Λ-) = √2p +,,+2,(/7 ∈ ∕V).⅛(0, + ∞)上是增函数,在泄义域上是偶函数.⑴求〃的值,并写出相应的函数/3)的解析式；⑵对于⑴中求得的函数/⑴.设函数g(x)=—0V(x)]+(2g-1)∙/(x)+L则是否存在实数√t7<0),使得 g(x)在区间(-s,-4］上是减函数,且在区间(-4,0)上是增函数?若存在,请求出来,若不存在,请说明理由.2. 3幕函数答案典例解析题型一:幕函数的概念例 1 .(1X2X4)解:⑶中y = 22J是指数函数;⑸中X2的系数是3,故不是幕函数;⑹中y = √+l ,不是√1的形式,故不是幕函数,⑺中丄的系数是一 1,故不是幕函数.例 2.解:⑴∙.∙ /(Λ)是幕函数,故m2-m-↑ = ∖,即m2-m-2 = 0,解得In = 2 或ιn = -∖.R 2 1 _ 1⑵若/(X)是幕函数,且又是(0,+≪>)上的增函数厕一也一=, AZH = -I・—5/?1— 3 > 0,⑶若f(X)是正比例函数,则一5∕π-3 = l.解得m = ~-,此时,m2-m-∖≠0Mm = --2 2⑷若f (%)是反比例函数,则一5∕λ∕-3 =-L则加=一二,此时一〃2-1 HO,故Ul =——・⑸若/(x)是二次函数,则一5也一3 = 2 ,即I n = -\ ,此时m2-m-∖≠0,故加=—1.综上所述,当m = 2或加=-l,∕(x)是幕函数;当/Π=-1⅛,∕(Λ)既是幫函数,又是(O,P)上的增函数;当m = ~-时J(X)是正比例函数;当m =⑴是反比例函数;当加=—1时J(X)是二次函数.题型二:幕函数的图象例 3. B.解:要确定一个幕函数y = Λα任坐标系内的分布特征,就要弄淸幕函数y = χσ随着a值的改变图象的变化规律,随着a的变大,幕函数y = X a的图象在直线X = 1的右侧由低向髙分布,从图中可以看岀,直线X = 1右侧的图象,由高向低依次为C1,C2,C3,C4,fi∣τ以C∣,C2,C3,C t的指数G依次为4,1-1,-4.例 4.(6X4)(3)(2)(7X1)(5)解:先区分幕函数的正负,若是正指数,再与1比较大小,.若是负数,再区分奇偶性,就可找到对应图象的函数..观察前三个图象,由于在第一象限内,函数值随X的增大而减小,则幕指数αvθ.其中第一个函数图像关于原点_1对称,第二个函数图象关于y轴对称,而第三个函数的左义域为(09+oo).所以第一个函数图像对应y = Λ75;第二2-3个图象对应y =三个图象对应〉，=人二;后而四个图象都通过(0,0)和(IJ)两点,故α>0,第四个图象关于2 1y轴对称,第五个图象关于原点对称,龙义域都是R ,所以第四个图象对应y = G,第五个图象对应y = x∖由最后两个图象知,函数的左义域为[0,-κo),而第六个图象呈上凸状.α应小于1,第七个图象呈下凸状.α应大于1,故3 3第六个图象对应y = F,第七个图象对应y =込,所以按顺序分别填⑹(4)(3X2)(7)(1)(5).题型三:幕函数的定义域3例5•解:(l)y = /=W ,其泄义域为R ：丄(2)y=P=屁其定义域为[0,+Oθ);2 1(3)y = χ i = -F=.,其定义域为(-oo,θ)U(θ,+oo):y∖χ J(4)y = √5 =_L t其定义域为(0,乜)：3 ___________(5)y = (χ + 2)2=2∕(χ + 2)∖ 其泄义域为[一2,*c).题型四：幕函数的性质及其应用5 5 5例6•解：⑴函数y = χA在(0,+≪>)上为减函数，又3<3∙1,所以3~>(3∙1)~.8]8 8 [[ 8[8(2)8^=(-f 函数〉，=捂在[0,P)上为增函数，又→∣ ,所以8^^>(-)∖所以一 8^^ < -(~Γ .Q 2 j 2Z- 2 2 -r 1 _2(3)(--P= (-P= (-P , (--P = (-P ,因为函数y = P在(0,乜)上为减函数，—>Z3 3 6 6 6 6 6所以(-∣)^j<(-^ρ.3 o2 2 23 2 2 3⑷因为4∙P >P =1 , 0<3∙8^I<Γ5=1, (-l∙9p<0,所以4∙P >3∙8^1 >(-l∙9p.例 7•解：(I)T 函数/(x)在(0,-KO)上单调递减，.∙.∕√-2∕H-3<0, 解得-∖<m<3,∙.∙ 〃疋AT, .∙. m = 1,2 , 又函数/⑴的图象关于y轴对称， A m2-2nι-3是偶数，而22-2×2-3 = -3为奇数，l2-2×l-3 = ^为偶数，.∙.m = 1, /(x)=x^4.-丄-1 -1(2)^(X)=X 3在(一oo,0>(0,RD)上均为减函数，.∙.(α + l) 3 <(3-2«) 3等价于a + ∖>3-2a>0 或2 3O>tz + 1 >3 —2r∕或α + lvθv3-2d 解得α<-l或一VdV-, 故a的取值范围为3 2、2 3< a∖a < -1⅛K- <a < — > ・1 3 2⑶由(I)W F(Λ-) = 6∕λf7W + -4-= Λ + ^V3 : 当a=b = O时，/G)既是奇函数又是偶函数：当g) V-a = O,b≠ O时，/(x)是奇函数；当a≠O,b = O时，/(x)是偶函数：当a≠O,b≠O时，/(x)是非奇非偶函数.同步练习一.选择题1. C.解析：将点(4,丄)代入y = x“得丄= 4°,。