小结
(1) 幂函数的定义；
一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自 变量，α是常数.
1
(2)掌握幂函数 yx,yx2,yx3,yx 1,yx2
的图象和性质
(3) 利用幂函数的单调性判别幂函数值大小
课堂小结：
1. 幂函数的定义
2. 幂函数的定义域
3. 幂函数的图象和性质
课后作业：
1.比较大小：
（1）0.53/5——0.493/5 （3）(3/5)- 5——(4/5)- 5 2.求下列函数的定义域：
(9)y
x3;(10)y
3
x2
• 则图象关于y轴对称的函数是＿＿＿；
• 则图象关于原点对称的函数是＿＿＿；
• 则互为反函数的两个函数是＿＿＿。
1
1
例2、若 (x1)2(32x)2,求 x的范 ．围
1
解:考虑函数 y x 2 在[0,+∞)上为单调增函数
∴由条件有
0
3 2x 0
x 1＜ 3 2 x
练习:比较下列各组数的大小。
(1)
1
1.5 3
和
1
1.7 3
1
1
(2) 4.12 和 3.82
练习 将下列函数序号填在相应 图象下面的括号里。
4
(1) y=x 5
4
(2) y=x 3
(3)
y=x
1 2
(4)
y=x
1 3
4 2
4
1 2
1 2
-4
-2
-6
-4
-2
2
4
6
2
4
6
-2 -1
-2
-1
-4 -4
练习 y幂 函xm 数y xn y x p
在第一象限的图象如图所示，
试比较m、n、p的大小。
6
6
m
4
m4
np
pn
2 2
-4
-2
-2
-4
2
4
6
-4
-2
-2
-4
2
4
6
• 练习、给定函数解析式：
1
2
1
2
(1)yx 3;(2)yx 3;(3)yx 2;(4)yx3;
1
1
3
(5)y x3;(6)y x2;(7)y x2;(8)y x3;
数。
（1）图象都过（1，1）点；
（2）在第一象限内，函数值随 x 的增大而减小，即在
（0，+∞）上是减函数。
（3）在第一象限，图象向上与 y 轴无限接近，向右与 x 轴无限接近。
y x3
y x2
yx
1
y x2
y x1
例一、 比较大小：
> （1）1.53/5 < 1.73/5 （2）0.71.5
奇
单调性
增
[0,+∞)增 (-∞,0]减
增
非奇非 偶
增
奇
(0,+∞)减 (-∞,0)减
公共点 (1,1) (1,1) (1,1) (1,1)
(1,1)
探究：幂函数的性质
(1)幂函数的图象都通过点 (1,1) (2) 如果α＞０，
在 区间[0,+∞)上是 增函数
如果a＜０， 在区间(0,+∞)上是 减函数
解得： 1 x 2 3
改为：(ｘ ＋ １ ) － ３ １ ＜ （ ３ － ２ ｘ ） － ３ １
• 例3：已知幂函数 f(x)=
为偶函数且在区间
xm2上2m是3(单m 调Z减)
函数，
0,
• （1）则函数解析式是＿＿＿；
• （2）讨论函数g(x)= a f (x) b 的奇
偶性
xf(x)
例 3.证明幂函数 f (x) x 在[0,+∞)上是增函
(3) 当α为奇数时， 幂函数为 奇函数 当α为偶数时， 幂函数为 偶函数；
打开几何
y y=x3
y=x2
1
y=x1/2
0
1
X
a>0
y y=x-2
y=x-1
1
y=x-1/2
0
1
X
a<0
（1）图象都过（0，0）点和 （1，1）点；
（2）在第一象限内，函数值 随x 的增大而增大，即
在[0，+∞)上是增函
在同一平面直角坐标系内作出幂函数y=x， y=x2，y=x3，y=x1/2，y=x-1的图象. 打开几何画板
函数 性质
y=x
定义域 Ｒ
常见幂函数的性质
1
y=x2 y=x3 y x 2
y=x-1
Ｒ
Ｒ [0,+∞) x|xR且x0
值域 R [0,+∞) R [0,+∞) y|yR且y0
奇偶性 奇
偶
看看未知数x是指数还是底数
指数函数
幂函数
1.判断下列函数是否为幂函数.
(1) y=x4 √
(2) y
1 x2
√
1
(4) y x 2 √
(5) y=3x2 x
(3) y= -x2 x
(6) y=x3-2 x
2.若幂函数y=f(x)的图象过点 ( 2 , 2 ) ,则函
数的解析式为__y_____x___
（2）8.1-1/5——8.01-1/5
1
1
（4） 3 3 —— 3 4
（1） y
1 3x
（2） y(2x5)3 2
习题3.3
我国著名数学家华罗庚教授在其 《数学的用场与发展》中指出:
“宇宙之大,粒子 之微,火箭之速,化 工之巧,地球之变， 生物之谜，日用之 繁，无处不用数 学。”
幂函数与指数函数的对比
式子
a
指数函数: y=a x 底数
名称
x
y
指数 幂值
幂函数: y= x a 指数 底数 幂值
判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点
0.61.5
< > （3）2.2-2/3 1.8-2/3 （4）0.15-1.2 0.17-1.2
例二、求下列函数的定义域：
（1）y = (2x+5)1/2
(1)解:y = 2x 5
解不等式2x+5≥0 得
x≥-5/2
函数y = (2x+5)1/2 的 定义域为[ -5/2，+∞) .
（2）y = -(x 3)-1/5
数．
证明：任取x1,x2∈ [0,+∞)，且x1＜x2，则
f(x1)f(x2) x1 x2
(
x1
x2)(
x1
x2)
x1 x2
x1 x2
x1 x2
因 为 x1x20, x1x20,
所 以 f ( x 1 ) f ( x 2 ) , 即 幂 函 数 f ( x ) x 在 [ 0 , ) 上 是 增 函 数 .
解：y =
1 5 x3
解不等式 x – 3 ≠0得
X≠3
函数y=(x-3)-1/5的定 义域为(-∞,3)∪(3,+∞).
例１ 比较下列各组数的大小:
(1)()3和 (-3)3
1
1
(2)3 2 和3.1 2
(3) 31.4和51.5 注意:
•利用幂函数的增减性比较两个数的大小.
•当不能直接进行比较时,可在两个数中间 插入一个中间数,间接比较上述两个数的大小