2011年考研数学试题（数学二）一、选择题1.已知当0x →时，函数是等价无穷小，则与kcx x x x f 3sin sin 3)(-= A k=1,c=4 B k=a, c=-4 C k=3,c=4 D k=3,c=-42.=-==→3320)(2)(,0)0(0)(lim x x f x f x f x x f x 则处可导，且在已知 A )0(2f '- B )0(f '- C )0(f ' D03.函数)3)(2)(1(ln )(---=x x x x f 的驻点个数为 A0 B1 C2 D34.微分方程的特解形式为)0(2>+=-'-λλλλx x e e y y A)(x x e e a λλ-+ B )(x x e e ax λλ-+C )(x xbe aex λλ-+ D )(2x x be ae x λλ-+5设函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)0(,0)(>'>f x f ，则函数)(ln )(y f x f z =在点（0，0）处取得极小值的一个充分条件A 0)0(,1)0(>''>f fB 0)0(,1)0(<''>f fC 0)0(,1)0(>''<f fD 0)0(,1)0(<''<f f 6.设⎰⎰⎰===44400cos ln ,cot ln ,sin ln πππxdx K xdx J xdx I 的大小关系是、、则K J IA I<J<KB I<K<JC J<I<KD K<J<I7.设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第一行得单位矩阵。
记,010100001,010********⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=P P 则A=A 21P PB 211P P -C 12P PD 112P P -8设),,,(4321αααα=A 是4阶矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，若T)0,1,0,1(是方程组0=Ax 的一个基础解系，则0*=x A 的基础解系可为 A 31,αα B 21,αα C 321,,ααα D 432,,ααα二、填空题9.=+→xx x 10)221(lim 10.微分方程===+'-y y x e y y x的解满足条件0)0(cos11.曲线)40(tan 0⎰≤≤=xx tdt y π的弧长s=____________12.设函数{0,)(0,0,0>=>≤-λλx x x f ，则=⎰+∞∞-dx x xf )(13.设平面区域D 由y=x,圆y y x 222=+及y 轴所组成，则二重积分⎰⎰=Dxyda ________14.二次型3231212322213212223),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=，则f 的正惯性指数为________________三、解答题 15.已知函数αx dt t x F x⎰+=2)1ln()(，设0)(lim )(lim 0==+→+∞→x F x F x x ，试求α的取值范围。
16.设函数y=y(x)有参数方程⎩⎨⎧++=+-=3131313133t t x t t y ，求y=y(x)的数值和曲线y=y(x)的凹凸区间及拐点。
17.设))(,(x yg xy f z =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导，且在x=1处取得极值g(1)=1,求1,12==∂∂∂y x yx z18.设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l:y=y(x)与直线y=x 相切于原点，记α是曲线l 在点（x,y)外切线的倾角dxdydx d =α，求y(x)的表达式。
19.证明：1）对任意正整数n ，都有nn n 1)11ln(11<+<+ 2）设),2,1(ln n1211⋯=-+⋯++=n n a n ,证明}{n a 收敛。
20.一容器的内侧是由图中曲线绕y 旋转一周而成的曲面，该曲面由)21(1),21(22222≤=+≥=+y y x y y y x 连接而成。
（1）求容器的容积。
（2）若从容器内将容器的水从容器顶部全部抽出，至少需要多少功？（长度单位：m ；重力加速度为2/s gm ；水的密度为33/10m kg ）21.已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数，且f(1,y)=0,f(x,1)=0,⎰⎰=Da dxdy y x f ),(，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D ，计算二重积分dxdy y x xy I Dxy ),("=⎰⎰⎰。
22.1)(22==Y X P求：（1）（X ，Y ）的分布；（2）Z=XY 的分布；（3）XY ρ23.A 为三阶实矩阵，2)(=A R ，且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101101101101A（1）求A 的特征值与特征向量；（2）求A参考答案选择题：CBCC ABDD填空题： 9.2 10.x e y xsin -= 11.)12ln(+ 12.λ1 13 127 14. 2解答题： 15.解：313,120lim )1ln(lim )1ln(lim)(lim 0,0)1(112lim )1ln(lim )1ln(lim)(lim 0,)(lim ,0120120020221202<<<->==+=+=>=-+=+=+=>+∞=≤-→-→+∞→→-+∞→-+∞→+∞→+∞→+∞→+++⎰⎰a a a ax x ax x x dt t x F a xa a x x ax x x dt t x F a x F a a x a x axx x a x a x axx x x 于是所以得得，当所以结论不正确因为当16.解：sss17.解：)1,1()1,1()1,1()](,()()(,([)](,[)()](,[)](,[1211212111221f f f yx zx yg xy f x g x yg xy f x y x yg xy f yx zx g y x yg xy f y x yg xy f x zx ''+''+'=∂∂∂''+''+'=∂∂∂''+'=∂∂18.解：{.22,2,0)(22,2,211,21ln ,1ln ),1(,,,,)1(,sec ,tan 22222221122)1(1)0(,0)0(222x x xx xx xy y y y y e y C o y C e dx e e y e e p e pp C C x p p p p dxdp dx dp y p y y y y y dxd x dx dy --===+--=-=-==+=+=++==''='''=''+''==⎰''+=''='=故所以因为平方解得：故带入初始条件得变量分离得于是有则令于是有即求导得：两边对ααα 19.解：{}{}。
单调递减有界，故收敛单调递减即其中即应用中值定理，在n n n n n n n n n n a nn n n nn n n nn a a a a a a n n n n n n a a n n a n n nnn n nn n n x x f 01ln ln )1ln(ln 1ln 2/3ln 2ln ln )11ln()211()111ln(12/11,01,111ln )1ln(11)1ln(112/11)2(11)11ln(1111,111111,101111ln )11ln()11ln(]1,0[)1ln()()1(1111>+=-+=-++⋯+-=-++⋯++++>+⋯++=<<-+<<-+=++-+=-+-++⋯++=<+<+<++<<+=-+=++=++++ξξξξξ20.解： .241724)1()2()2()2()1()2()2(49)1()2()1(2212112222221211221222121122⋅=--+--=-+-==-+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰---πρπρπρπρπρππg dyy g y dy y y g y dyx g y dy x g y y W dy y dy y y V21.解：adxdy y x f dx y x f dy dx y x f dy dy y x xf dxy x f x dy dy y x f y xdx x xf dy y x f y xdx dx x f x dy y x f y xdx I dy y x f y x f y y x f yd dy y x f y dy y x f y xdx dxdy y x f xy I Dx x x x x x xyx xy x xy Dxy xy===--='-='-='-'=''='-'='=''''=''=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰),(),(]),(),([),(),()1,(),()1,(),(,),(),(),(),(),(),(111110111111011010101011010111于是，22.解：⎝⎛++=++=-+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===<∴=∴≠==321132123211321321321321321321321321000242100021142100010001101321111106310101420321111410310101531321111511300101),,,)(250,3)(,,3),,(01531110101,,)1αααβαααβαααββββαααβββββββββααααααααα于是，，，解得，，于是，，线性表示，，，不能由又a r r23.解：{{⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===∴<=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-==-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-=+==001000100000010001,000010001,0212110002121),,Q ,010,10121,101212010000,32)(101101,1,1,,A 101101321321321000332133212122112131313T13T 2T T x x x x Q Q A AQ Q r r r r r r A A x x x A A r A A 于是则（令单位化得：）解得即为实矩阵，所以有的特征向量的相应于为矩阵令故，向量为对应的线性无关的特征的特征值为，根据特征值向量的定义则，令αααλαλααλλαααααααααα。