2018届高三年级第二次模拟考试(十)
数学(满分160分，考试时间120分钟)
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1. 已知集合A ＝{－1，1}，B ＝{－3，0}，则集合A ∩B ＝________．
2. 已知复数z 满足z·i ＝3－4i (i 为虚数单位)，则|z|＝________．
3. 双曲线x 24－y 2
3
＝1的渐近线方程为________． 4. 某中学共有1 800人，其中高二年级的人数为600.现用分层抽样的方法在全校抽取n 人，其中高二年级被抽取的人数为21，则n ＝________．
5. 将一颗质地均匀的正四面骰子(每个面上分别写有数字1，2，3，4)先后抛掷2次，观察其朝下一面的数字，则两次数字之和等于6的概率为________．
6. 右图是一个算法的流程图，则输出S 的值是________．
7. 若正四棱锥的底面边长为2cm ，侧面积为8cm 2，则它的体积为________cm 3.
8. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 2＋a 4＝2，S 2＋S 4＝1，则a 10＝________．
9. 已知a>0，b>0，且2a ＋3b
＝ab ，则ab 的最小值是________． 10. 设三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan A tan B ＝3c －b b
，则 cos A ＝________．
11. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧a －e x ， x<1，x ＋4x
， x ≥1(e 是自然对数的底数)．若函数y ＝f(x)的最小值是4，则实数a 的取值范围为________．
12. 在△ABC 中，点P 是边AB 的中点，已知|CP →|＝3，|CA →|＝4，∠ACB ＝2π3
，则 CP →·CA →＝________．
13. 已知直线l ：x －y ＋2＝0与x 轴交于点A ，点P 在直线l 上．圆C ：(x －2)2＋y 2＝2上有且仅有一个点B 满足AB ⊥BP ，则点P 的横坐标的取值集合为________．
14. 若二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a>0)在区间[1，2]上有两个不同的零点，则f （1）a
的取值范围为________________．
二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
已知向量a ＝(2sin α，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫1，sin ⎝
⎛⎭⎫α＋π4. (1) 若角α的终边过点(3，4)，求a·b 的值；
(2) 若a ∥b ，求锐角α的大小．
16. (本小题满分14分)
如图，正三棱柱ABCA 1B 1C 1的高为6，其底面边长为2.已知点M ,N 分别是棱A 1C 1，AC 的中点，点D 是棱CC 1上靠近C 的三等分点．求证：
(1) B 1M ∥平面A 1BN ；
(2) AD ⊥平面A 1BN.
17. (本小题满分14分)
已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)经过点⎝⎛⎭⎫3，12，⎝⎛⎭
⎫1，32，点A 是椭圆的下顶点． (1) 求椭圆C 的标准方程；
(2) 过点A 且互相垂直的两直线l 1，l 2与直线y ＝x 分别相交于E ，F 两点，已知OE ＝OF ，求直线l 1的斜率．
18. (本小题16分)
如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB 为6，O 为圆心，且OC ⊥AB ，在OC 上
有一座观赏亭Q ，其中∠AQC ＝2π3，计划在BC ︵上再建一座观赏亭P ，记∠POB ＝θ⎝
⎛⎭⎫0<θ<π2. (1) 当θ＝π
3
时，求∠OPQ 的大小； (2) 当∠OPQ 越大时，游客在观赏亭P 处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值．
已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，g(x)＝ln x.
(1) 若a ＝0，b ＝－2，且f(x)≥g(x)恒成立，求实数c 的取值范围；
(2) 若b ＝－3，且函数y ＝f(x)在区间(－1，1)上是单调减函数．
①求实数a 的值；
②当c ＝2时，求函数h(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≥g （x ），g （x ），f （x ）<g （x ）的值域．
已知S n 是数列{a n }的前n 项和，a 1＝3，且2S n ＝a n ＋1－3(n ∈N *)．
(1) 求数列{a n }的通项公式；
(2) 对于正整数i ，j ，k (i <j <k )，已知λa j ，6a i ，μa k 成等差数列，求正整数λ，μ的值；
(3) 设数列{b n }的前n 项和是T n ，且满足对任意的正整数n ，都有等式a 1b n ＋a 2b n －1＋a 3b n
－2＋…＋a n b 1＝3
n ＋1－3n －3成立． 求满足等式T n a n ＝13
的所有正整数n .
2018届高三年级第二次模拟考试(十)
数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A. [选修41：几何证明选讲](本小题满分10分)
如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过点D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C ，且满足DA ＝DC .
(1) 求证：AB ＝2BC ；
(2) 若AB ＝2，求线段CD 的长．
B. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)
已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 00 1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 5，列向量X ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤a b . (1) 求矩阵AB ；
(2) 若B －1A －1X ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤51，求a ，b 的值．
C. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫22，π4，圆心为直线ρsin ⎝
⎛⎭⎫θ－π3＝－3与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．
D. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分)
已知x ，y 都是正数，且xy ＝1，求证：(1＋x ＋y 2)(1＋y ＋x 2)≥9.
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22. (本小题满分10分)
如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是矩形，PD 垂直于底面ABCD ，PD ＝AD ＝2AB ，点Q 为线段PA(不含端点)上的一点．
(1) 当点Q 是线段PA 的中点时，求CQ 与平面PBD 所成角的正弦值；
(2) 已知二面角QBDP 的正弦值为23，求PQ PA
的值．
23. (本小题满分10分)
在含有n 个元素的集合A n ＝{1，2，…，n}中，若这n 个元素的一个排列(a 1，a 2，…，a n )满足a i ≠i(i ＝1，2，…，n)，则称这个排列为集合A n 的一个错位排列(例如：对于集合A 3＝{1，2，3}，排列(2，3，1)是A 3的一个错位排列；排列(1，3，2)不是A 3的一个错位排列)．记集合A n 的所有错位排列的个数为D n .
(1) 直接写D 1，D 2，D 3，D 4的值；
(2) 当n ≥3时，试用D n －2，D n －1表示D n ，并说明理由；
(3) 试用数学归纳法证明：D 2n (n ∈N *)为奇数.。