2019年~2020学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅰ试题1.已知i 为虚数单位，复数11z i=+，则z =#2.已知集合{}{}01,13A x x B x a x =≤≤=-≤≤，若A B ⋂中有且只有一个元素，则实数a 的值为#3.已知一组数据1.6,1.8,2,2.2,2.4，则该组数据的方差是#4.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2221(0)4x y a a -=>的一条渐近线方程为23y x =，则a =#5.甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则乙不输的概率是#6.右图是一个算法的流程图，则输出的x 的值为#7.“直线1:10l ax y ++=与直线2:430l x ay ++=平行”是“2a =”的#条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）8.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则n a =#9.已知点M 是曲线22ln 3y x x x =+-上一动点，当曲线在M 处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为#10.已知3cos 24sin(),(,)44ππαααπ=-∈，则sin 2α=#11.如图在矩形ABCD 中，E 为边AD 的中点，.2,1==BC AB 分别以D A ,为圆心，1为半径作圆弧EB ,EC ，将两圆弧EB ,EC 及边BC 所围成的平面图形（阴影部分）绕直线AD 旋转一周，所形成的几何体的体积为#12.在ABC ∆中，()(1)AB AC BC λλ-⊥> ,若角A 的最大值为6π，则实数λ的值是#一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。
13.若函数()(01)xf x a a a =>≠且在定义域[,]m n 上的值域是22[,](1)m n m n <<，则a 的取值范围是#14.如图，在ABC ∆中，4,AB D =是AB 的中点，E 在边AC 上，2,AE EC CD =与BE 交于点O ，若2,OB OC =则ABC ∆面积的最大值为#二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别是,,a b c ，且满足cos 3sin 0b A a B =（1）求A ；（2）已知23,3a B π==，求ABC ∆的面积.16.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为平行四边形，,BD BC PCD ⊥∆为正三角形，平面PCD ⊥平面ABCD ，E 为PC 的中点.（1）证明：AP ∥平面EBD ；（2）证明：BE PC ⊥.某地为改善旅游环境进行景点改造.如图，将两条平行观光道21l l 和通过一段抛物线形状的栈道AB 连通（道路不计宽度），21l l 和所在直线的距离为0.5（百米），对岸堤岸线3l 平行于观光道且与2l 相距1.5（百米）（其中A 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于3l ，且交3l 于M ），在堤岸线3l 上的F E ,两处建造建筑物，其中F E ,到M 的距离为1（百米），且F 恰在B 的正对岸（即3l BF ⊥）.（1）在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB 的方程；（2）游客（视为点P ）在栈道AB 的何处时，观测EF 的视角（EPF ∠）最大？请在（1）的坐标系中，写出观测点P 的坐标.如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为21且经过点B A ,231，，⎪⎭⎫⎝⎛分别为椭圆C 的左、右顶点，过左焦点F 的直线l 交椭圆C 于E D ,两点（其中x D 在轴上方）.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若BDF AEF ∆∆与的面积比为1:7，求直线l 的方程.已知函数)(32)(223R m x m mx x x f ∈+-=的导函数).(x f '（1）若函数)()()(x f x f x g '-=存在极值，求m 的取值范围；（2）设函数)(ln )()(x f e f x h x'+'=（其中e 为自然对数的底数），对任意R m ∈，若关于x 的不等式22()0h x m k ≥++∞在（，）上恒成立，求正整数k 的取值集合.已知数列{}{},,n n b a 数列{}n c 满足*,,n n n a n c n N b n ⎧⎪=∈⎨⎪⎩为奇数，为偶数，.（1）若,2,nn n b n a ==求数列{}n c 的前n 2项和n T 2；（2）若数列{}n a 为等差数列，且对任意n n c c N n >∈+1*,恒成立.①当数列{}n b 为等差数列，求证：数列{}{}n n b a ,的公差相等；②数列{}n b 能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列{}n b ；若不能，请说明理由.2019年~2020学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅱ（附加题）.A 选修2-4；矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1132,1231B A ，且二阶矩阵M 满足B AM =，求M 的特征值及属于各特征值的一个特征向量。
.B 选修4-4；坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧∂+=∂+=2cos 323cos 22y x （∂为参数），以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρsin 4=。
（1）求曲线C 的普通方程；（2）求曲线l 和曲线C 的公共点的极坐标。
C .选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知正数,,x y z 满足x y z t ++=（t 为常数），且22249x y z ++的最小值为87，求实数t 的值。
某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满200元，有一次抽奖机会（即满200元可以抽奖一次，满400元可以抽奖两次，依次类推）。
抽奖的规则如下：在一个不透明口袋中装有编号分别为1,2,3,4,5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次大（如1,2,5），则获得一等奖，奖金40元；若摸得的小球编号一次比一次小（如5,3,1），则获得二等奖，奖金20元；其余情况获得三等奖，奖金10元.（1）某人抽奖一次，求其获奖金额X的概率分布和数学期望;（2）赵四购物恰好满600元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为60元的概率.已知抛物线py x C 4:2=（p 为大于2的质数）的焦点为，F 过点F 且斜率为)0(≠k k 的直线交B A C ,于两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点E ，抛物线C 在点B A ,处的切线相交于点.G 记四边形AEBG 的面积为S .（1）求点G 的轨迹方程；（2）当点G 的横坐标为整数时，S 是否为整数？若是，请求出所有满足条件的S 的值；若不是，请说明理由.2019～2020学年度苏锡常镇高三教学情况调研（一）数学参考答案2020. 3数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1.豆2.23.0.084.35.ζJ－fAυ6.67.必要不充分8. -2月＋119. x -y -3二。
10._!_91 I .生3二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15.（本小题满分14分〉解：CI）因为bcosA-./3asinB = 0,所以由正弦定理可得si n B cos A -./3 s inA s inB = ,Q 12.313.(1, e e )14.gJ2... 2分因为O<B ＜ι所以sinB > 0，所以cos A= ./3s in A ,因为O<A ＜π，所以cos A= ./3sinA > 0，所以tanA＝豆6分3π 大｜诀1A E (0，叶，所以A＝一．……………………………………………………..8分6 (2）因为α＝2,'13, B ＝豆，A ＝豆，36 π 所以在D.A B C 中，C ＝一．………………………………………………………··四分2 2-J3 X 主。
b as in Bv J守由正弦定理二，可得b 二二二二6，…………………·12分sinA sinBsinAl2所以S A AU 「二＿！＿ab = _!_ X 2./3 X 6 = 6./3 . '' ＇＇＇＇＇……………………………………· 14封<-..>n u 」2 216.C本小题满分14分〕证：C I ）连结A C 交BD 于0，因为ABCD 为平行四边形，所以0为AC 的中点．连结EO ，在L-.PAC 中，因为E是PC 的中点，所以EOI/AP. ………………·2分又因为AP cr.平面EBD,EOc 平面EBD,所以A P ／／平面E B D .………………………………………………………………·6分(2）因为L-.PDC 为正三角形，E 是PC 的中点，所以DE 1-PC.………………………………………………………………………8分又因为平面PCD .l_平面ABCD ，平面PCD 门平面ABCD =DC ，且BD 1-DC,BD c平面ABCD ，所以BD 土平面PCD.X y当且仅当1.二］＿二三时取等号，此时，主二之二Z , x+ y +z 二4，解得X 二三，2 3 1 4 9., 18 2 x 2 v 2 "J y ＝一，z ＝一．所以＋三一＋z 2的最小值为，…………………….. 8分7 7 49 14 因为三＋豆＋z 2的最小值为一，所以＝一，又因为t =x +y+z >O,8 t 2 8 49 7 14 7 所以解得t = 4. ……………………………………………………………………· 10分22.C 本小题满分10分〉解：C 1) X 的所有可能取值有10,20, 40. 按规则摸出三个小球的情况共有5×4×3=60种．………………………………. 1分其中“一次比一次大”和“一次比一次小”的情况都恰有可二10种，10 1 所以P(X = 40) ＝一＝一，606 10 1P(X =20) ＝一＝一，60 6 阳＝10) = 1一阳＝40)-P(X=20)=f,故获奖金额X的概率分布为X 1020 2 3 6 2 1 1 50其数学期望E(X ）二10×一＋20×一＋40×一二一．3 6 6 3 40 ... 4分6 50一答：获奖金额X 的数学期望为兀·……………………………………………·6分3 (2）记“获得的奖金恰好为60元”为事件A .赵四购物恰好满600元，则他有3次抽奖机会，各次抽奖结果相互独立．事件A包含：三次都是二等奖：一次一等奖及两次三等奖．1 1。