2π
思考应用
2．如何理解在弧度制下，角的集合与实数集R之间建 立的一一对应关系？
解析：在角的概念推广后，无论用角度制还是用弧 度制，都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应 的关系：每一个角都有唯一的一个实数与它对应，例如 这个角的弧度数或度数；反过来，每一个实数也都有唯 一的一个角与它对应，就是弧度数或度数等于这个实数 的角．由于角度值是六十进位制，而弧度制是十进位制， 故在弧度制下，研究问题更加方便．
2．将－300°化为弧度等于( B )
A－43π
B．－53π
C．－74π
D．－76π
1．角度与弧度的互化
(1)角度与弧度互化时，注意换算公式的应用
设一个角的弧度数为α，角度为n°，则α(rad)＝18π0α°n，° ＝n·1π80 (rad)；
(2)如果角度制n是以“度、分、秒”形式给出的，要先把n 化成以“度”为单位的十进制表示．
用弧度制表示角 用弧度制表示顶点在原点，始边重合x轴非负半 轴，终边落在下图中阴影部分内的角的集合(包括边界)．
解析：(1)图(1)中的阴影部分表示为 {α|45°＋k·180°≤α≤90°＋k·180°，k∈Z}， 化为弧度制为 απ4＋kπ≤α≤π2＋kπ，k∈Z ；
(2)图(2)中的阴影部分表示为
圆的半径无关．
答案：A
2．某扇形的面积为1 cm2，周长为4 cm，那么该扇形 圆心角的弧度数为( )
A．2°
B．2
C．4°
D．4
解析：∵4＝|α|·R＋2R⇒R＝2＋4|α|，
且 1＝12|α|·R2，
∴1＝12|α|·|α|＋4 22，解得|α|＝2，故选 B.
答案： B
3. 若将钟表拨慢30分钟，则时针转了多少度？多少弧度？ 分针转了多少度？多少弧度？
点评：灵活运用扇形周长与面积公式列方程组求解是 解决这类问题的关键，同时，注意应用函数思想、化归思想 等解决有关最值的问题，只需将扇形面积表示为半径的函数， 即化归为关于半径的二次函数问题．
跟踪训练 4．一扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角α等于多少
弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积？
(4)∵－113π＝－4π＋π3， ∴－113π与π3终边相同． ∴以原点为圆心，逆时针旋转 x 轴的非负半轴，旋转量 分别为34π和π3时可得(1)(4)；顺时针方向旋转 x 轴的非负半轴， 旋转量分别是π6和23π时可得(2)(3)，如下图．
弧长与扇形面积公式的应用
(1)已知扇形周长为10，面积为4，求扇形圆心角 的弧度数；
答案：D
弧度制与角度制的换算 将下列各角化成2kπ＋α(k∈Z,0≤α＜2π)的形式，
并指出是第几象限角？
(1)1140°；(2)－361π；(3)169π；(4)－315°.
解析：(1)1140°＝139π＝6π＋3π，139π 与π3的终边相同， 故139π 是第一象限角；
(2)－361π＝－6π＋56π，－361π 与56π的终边相同，是第 二象限角；
三、弧长公式与扇形面积公式
1．角度制：半径为R，圆心角为n°的扇形中，圆心 角所对的弧长l和面积S分别为：
弧长l＝l＝__n_1π_8·_0R___，扇形的面积S＝__n3_π6·_R0_2___.
2．弧度制：半径为R，圆心角为α rad的扇形中，圆心 角所对的弧长l和面积S分别为：
弧长l＝_|α_|_R___，扇形的面积S＝_12_l·_R__＝_12_|_α_|·_R_2__.
(2)若β∈[－4π，0]，且β与－1480°角的终边相同， 求β.
解析： (1)－1480°＝－749π＝－10π＋169π ＝2×(－5)π＋169π； (2)β 与－1480°角的终边相同， ∴β＝2kπ＋α＝2kπ＋169π， 又∵β∈[－4π，0]， ∴β1＝－2π＋169π＝－29π，β2＝－4π＋169π＝－209π.
(2)已知一扇形的圆心角是72°，半径为20，求扇形的 面积；
(3)已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何 值时，扇形的面积最大？最大值是多少？
解析：由l＝|α|·R及S＝ 12l·R单独应用或联立，可做到 知二求一．
(1)设扇形圆心角的弧度数为θ，(0<θ<2π)，弧长为l， 半径为r，则
l＋2r＝10 21l·r＝4
(3)设扇形圆心角的弧度数为 θ，(0<θ<2π)弧长为 l， 半径为 r，面积为 S，
则 l＋2r＝4，所以 l＝4－2r，2π<r<2，
所以 S＝12l·r＝12×(4－2r)×r ＝－r2＋2r＝－(r－1)2＋1， 所以当 r＝1 时，S 最大，且 Smax＝1， 此是时，θ＝rl＝4－12×1＝2(rad)．
练习：扇形弧长为π，面积为π，圆的半径是____．
解析：弧长l＝π.∵S扇＝
1 2
lR＝π，
∴
1 2
×πR＝π，即R＝2，∴圆的半径为2.
答案：2
思考应用
3．根据扇形的面积公式和弧长公式，在弧长，面积， 圆心角，半径四个量中，可以知道几个量就可以求出其它 的量？
解析：只需知道两个量就可以求出其它量．例如：
已知扇形的弧长为π，面积为π，则可求所在圆的半径R和
圆心角α.由l＝|α|·R，得π＝|α|·R⇒|α|＝ ，
π R
又由S＝
1 2
|α|·R2，得π＝
|α12 |·R2，
将|α|＝ π代入得π＝ R
∴|α|＝ π. 2
·1 π·R2，解得R＝2. 2R
自测自评 1．下列说法正确的是( ) A．1弧度角的大小与圆的半径无关 B．大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大 C．圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等 D．用弧度表示的角都是正角 解析： ∵1 rad＝18π0°＝57.3°＝57°18′，其大小与
解析：设扇形的圆心角为α，半径为r，由已知条 件得，扇形的弧长l＝α·r，∴2r＋αr＝20，α＝ －2，2r0S ＝ ·α·r2＝12 10r－r2，
当r＝5，α＝2时，Smax＝25(cm)2.
一级训练 1．下列四个命题中，不正确的一个是( D ) A．半圆所对的圆心角是π rad B．周角的大小等于2π C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是 角的一种度量单位
解析： 本题考查弧制下，角的度量单位1弧度的概 念．根据1弧度的定义，我们把长度等半径长的弧所对的圆 心角叫做1弧度的角，即可判断D正确．
答案：D
跟踪训练
1．下列说法不正确的是( )
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单
位
1
2．弧长公式、扇形面积公式的应用
在扇形的有关问题中，要充分揭示图形的性质及联系，在 圆心角、半径、弧长、面积这些量中，只要知道其中两个量， 便可求出其它的量，注意与扇形中其它量的联系．如弦心距、 弦的一半与半径构成直角三角形等．
பைடு நூலகம்
B．11度的角是圆周的 360 所对的圆心角，1弧度的角
是圆周的 2π 所对的圆心角
C．根据弧度的定义知，180度一定等于π rad
D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们都与 圆的半解径析的：长根短据有角关度与弧度的定义可知，无论是角度制 还是弧度制，角的大小都与半径的长短无关，所以D错 误，故正确答案为D.
(3)169π＝2π＋76π，是第三象限角；(与 π 及32π比较) (4)－315°＝－360°＋45°＝－2π＋4π，是第一象限角．
点评：快速准确地实现角度与弧度的互化在今后的学 习中是必要的，而实现这两者之间互化的桥梁就是180°＝π rad.
跟踪训练
2．(1)把－1480°角化成2kπ＋α(k∈Z,0≤α<2π)的形式；
解析： 钟表拨慢30分钟，按逆时针方向旋转，为正 角．
时针转了30×
360° 12×60
＝15°，表示15°，
1弧π2 度；
分针转了30× 360°，表示180°，π弧度． 60
弧度制的概念
下列说法正确的是( )
A．1弧度是1度的圆心角所对的弧
B．1弧度是长度为半径的弧
C．1弧度是1度的弧与1度的角之和
跟踪训练
3．在坐标平面内，画出下列角的终边： (1)141π；(2)263π；(3)－83π；(4)－131π. 分析：把这些角化成 2kπ＋α，k∈Z 的形式，如141π＝ 8＋4 3π＝2π＋34π，263π＝24－ 6 1π＝4π－π6.
解析：(1)∵141π＝2π＋34π，∴141π 与34π的终边相同． (2)∵236π＝4π－π6.∴236π与－6π的终边相同． (3)∵－83π＝－2π－23π，∴－83π与－23π的终边相同．
{α|k·90°≤α≤45°＋k·90°，k∈Z}， 化为弧度制为 αk2π≤α≤π4＋k2π，k∈Z ； (3)图(3)中的阴影部分表示为
{α|－120°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}， 化为弧度制为 α－23π＋2k·π≤56π＋2k·π，k∈Z . 点评：本题实际上是第一节相关区域角表示方法在弧 度制下的具体应用，目的是使同学们进一步熟悉用弧度制， 并体会弧度制表示区域角的优点．
故得：1°＝________，1 rad＝________≈________ ＝________.
二、1π80 1π80° 57.3° 57°18′
附：完成常用角的弧度角度换算表：
度 0° 30° 60° 120° 135°
270°
弧 度0
π 6
π π π 2π 43 2 3
3π 4
5π 6
π
3π 2
一、1. 1弧度 2.(1)正数 (2)零 (3)负数