25题汇编1. 如图,AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的切线,切点为B ,AD 为弦,OC ∥AD 。
(1)求证:DC 是⊙O 的切线;(2)若OA=2,求OC AD 的值。
2. 如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,∠B=60°,CD 是⊙O 的直径,P 是CD 延长线上的一点,且AP=AC (1)求证:直线AP 是⊙O 的切线; (2)若AC=3,求PD 的长。
D C B A OC B3. 如图,已知AB 是⊙O 的直径,AM 和BN 是⊙O 的两条切线,点E 是⊙O 上一点,点D 是AM 上一点,连接DE 并延长交BN 于点C ,连接OD 、BE ,且OD ∥BE 。
(1)求证:DE 是⊙O 的切线;(2)若AD=1,BC=4,求直径AB 的长。
4. 如图,△ABC 内接于⊙O ,弦AD ⊥AB 交BC 于点E ,过点B 作⊙O 的切线交DA 的延长线于点F ,且∠ABF=∠ABC 。
(1)求证:AB=AC ; (2)若EF=4,23tan F ,求DE 的长。
M N E D C B A O5. 在△ABC 中,AB=AC ,以AB 为直径作⊙O ,交BC 于点D ,过点D 作DE ⊥AC ,垂足为E 。
(1)求证:DE 是⊙O 的切线;(2)若AE=1,52=BD ,求AB 的长。
6. 如图,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,AD 垂直于过点C 的直线,垂足为D ,且AC 平分 ∠BAD 。
(1)求证:CD 是⊙O 的切线;(2)若62=AC ,AD=4,求AB 的长。
A7. 如图,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,AD 和过C 点的切线互相垂直,垂足为点D ,AD 交⊙O 于点E 。
求证:(1)AC 平分∠DAB ;(2)若∠B=60°,32 CD ,求AE 的长。
8. 如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,AC 是⊙O 的直径,弦BD=BA ,AB=12,BC=5,BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E 。
(1)求证:BE 是⊙O 的切线;(2)求DE 的长。
AE A9. 如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,CB=CA=6,半径为2的⊙F 与射线BA 相切于点G ,且AG=4,将Rt △ABC 绕点A 顺时针旋转135°后得到Rt △ADE ,点B 、C 的对应点分别是点D 、E 。
(1)求证:DE 为⊙F 的切线;(2)求出Rt △ADE 的斜边AD 被⊙F 截得的弦PQ 的长度。
10. ⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆,点E 在AB 弧上,点D 在AC 弧上,且AE 弧等于CD 弧,连接CE 交AB 于点F ,连接BD 交CE 于点H ,交AC 于点G ,连接AD 。
(1)求证:AF=CG ;(2)若5:3: BF AF ,AC=8,求AD 的长。
D11. 如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,弦BD 交AC 于点E ,连接CD ,且AE=DE ,BC=CE 。
(1)求∠ACB 的度数;(2)过点O 作OF ⊥AC 于点F ,延长FO 交BE 于点G ,DE=3,EG=2,求AB 的长。
12. 如图,在菱形ABCD 中,P 是对角线AC 上的一点,且PA=PD ,⊙O 为△APD 的外接圆。
(1)求证:AB 为⊙O 的切线; (2)若⊙O 的半径为455,21tan =∠DAC ,求AC 的长。
C13. 如图,AC弧等于BC弧,D、E分别是半径OA,OB的中点,CE的延长线交⊙O于点F。
(1)求证:CD=CE;(2)若CD=2,CF=5,求半径OA的长。
14. 如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O外,连接OC,OC⊥AB,弦BD交OC于点E,CD=CE。
(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)若AB=13,BD=12,求DE的长。
15. 如图,点A 在射线ON 上,半径为5的⊙A 与射线OM 相切于点B ,交射线ON 于点D (OA OD <),将射线OM 沿着射线ON 翻折,得射线M O '。
(1)求证:M O '为⊙A 的切线;(2)点C 在射线OM 上,连CD ,交⊙A 于点E ,若︒='∠90M MO ,71tan =∠OCD ,求弦DE 的长。
16. 如图,∠ABC=30°,半径为3的⊙O 与直线AB 相切于点E ,BE=1,将∠ABC 沿着直线BC 翻折,得到∠DBC 。
(1)求证:⊙O 与BD 相切;(2)点F 与点E 关于O 点对称,过点F 作GF ∥BC ,交射线BD 于点G ,求线段GF 的长。
G F E D C B A O17. 如图,在△ABC中,AB=10,BC=8,AC=6,将△ABC沿AC翻折,点B与D重合,O是CD 上一点,OC=3,以O为圆心,OC为半径作⊙O,交CD于另一点E。
(1)求证:直线AD是⊙O的切线;(2)过点D作⊙O的另一条切线,切点为点M,连接MC并延长,交AB边于点N,求线段MN的长。
18. 如图,在⊙O中,弦AB∥弦CD,且AB、CD位于圆心O的两侧,AB=8,CD=6,AB、CD之间的距离为7,连接OA、OC。
(1)求⊙O的半径;(2)过点A作⊙O的切线,交DC的延长线于点E,求线段CE的长。
19. 如图,AB 为⊙O 的直径,AC 、BC 为⊙O 的弦,5=AC ,55sin =∠ABC ,将△ABC 沿AC 折叠,得到△ADC ,点E 在AD 边上,AE=1,连接CE 。
(1)求证:CE 是⊙O 的切线;(2)作射线EO ,交射线CB 于点F ,求BF 的长。
20.△如图,以△ABC 的BC 边上一点O 为圆心的圆经过A,B 两点,点D 在⊙O 上,BD=BA,∠DAC=2∠ABC,⊙O 交BC 于点E,AD 交BC 于点F 。
(1)求证:AC 为⊙O 的切线。
(2)若AB=3,AC=5,求BC 长。
DCB答案: 1.解:(1)连接OD ∵AB 是⊙O 的直径 ∴OA=OB=OD ∵BC 是⊙O 的切线,∴∠OBC=90°∵OC ∥AD ,∴∠A=∠COB ,∠ODA=∠COD , ∵OA=OD , ∴∠A=∠ODA ∴∠COD=∠COB∵OC=OC ,∴△COD ≌△COB , ∴∠ODC=∠OBC=90° ∴DC 是⊙O 的切线。
(2)连接BD ,∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ADB=∠OBC=90°, ∵∠BOC=∠A ,∴△BAD ∽△COB∴OBADCO BA =∴OB BA CO AD ⋅=⋅ ∴OA=2,∴BA=2OA=4,OB=2 ∴ 8=⋅=⋅OB BA CO AD2.(1)连接AO ,则∠AOC=2∠B=︒=︒⨯120602 ∵ OA=OC ∴∠OAC=∠OCA=︒=︒-︒302120180又∵ PA=AC ,∴∠P=∠ACP=30° 又∵∠AOP=︒=︒-︒60120180 ∴︒=︒-︒-︒=∠906030180PAO ∴OA ⊥AP ∴AP 是⊙O 的切线。
(2)连AD ,∵CD 为直径,∴∠DAC=90°,∴33330tan tan ADACD AC AD ==︒=∠= ∴3=AD 又∵∠PAD=︒=︒-︒303060 ∴∠P=∠PAD , ∴3==PD AD3.(1)证明:连接OE ,在⊙O 中,OA=OE=OB ,∴∠OBE=∠OEB ,∵OD ∥BE ,∴∠AOD=∠OBE=∠OEB=∠EOD 又∵OA=OE ,OD=OD ,∴△AOD ≌△EOD ,∴∠OAD=∠OED ∵AM 是⊙O 的切线,切点为A ,∴BA ⊥AM ,∴∠OAD=∠OED=90°,∴OE ⊥DE ∵OE 是⊙O 的半径,∴DE 是⊙O 的切线。
(2)解:过点D 作BC 的垂线,垂足为H 。
∵BN 切⊙O 于点B ,∠ABC=90°=∠BAD=∠BHD ∴四边形ABHD 是矩形,∴AD=BH=1, AB=DH ∴314=-=-=BH BC CH∵AD 、CB 、CD 分别切⊙O 于点A 、B 、E ,∴AD=ED=1,BC=CE=4, ∴DC=DE+CE=1+4=5 在Rt △DHC 中,222CH DH DC +=,∴43522=-==DH AB DCBAOMEDAO4. (1)证明:连接BD ,∵AD ⊥AB ,∴∠DAB=90°,∴BD 为⊙O 的直径,∵BF 与⊙O 切于点B , ∴∠OBF=90°,∴∠OBA+∠BAF=90°,∵∠DAB=90°,∴∠D+∠DBA=90° ∴∠D=∠ABF ∵∠D=∠C ,∠ABC=∠ABF ,∴∠C=∠ABC ∴AB=AC(2)∵AD ⊥AB ,∴∠AEB+∠ABE=∠ABF+∠F ,∵∠ABF=∠ABC ,∴∠BEF=∠F ,∴BE=BF∴AE=EF ,∵EF=4,∴AF=2,∵∠BAF=90°,∴23tan ==AF AB F AB=3 ∵∠DAB=∠BAF ∠ABF=∠D ,∴△ABF ∽△ADB ∴AB AF AD AB = 323=AD ∴29=AD∵AE=2,∴25=-=AE AD DE5. (1)证明:连接OD 、AD ,∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ADB=90°,又∵AB=AC ,∴BD=DC 又∵OB=OA ,∴OD ∥AC ∴∠ODE=∠CED=90°,∴DE ⊥OD ∴DE 是⊙O 的切线。
(2)解:∵∠CED=∠CDA=90°,又∵∠C=∠C ,∴△CED ∽△CDA ∴CACDCD CE =∴CA CE CD ⋅=2∵52==BD CD ,∴)1()52(2+=CE CE ,∴CE=4∴AB=AC=5 ∴AB=56. (1)证明:连接OC ,∵OA=OC ,∴∠1=∠2,∵AC 平分∠BAD ,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3, ∴OC ∥AD ∴∠OCD=∠ADC , ∵AD ⊥DC , ∴∠ADC=90°, ∴∠OCD=90°, ∴CD 是⊙O 的切线(2)解:连接BC ,∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB=90°,又∵∠ADC=90°,∠1=∠3,∴cos ∠1=cos ∠3,即ACADAB AC =,∴AD AC AB 2= 把62=AC ,AD=4代入得,得AB=67. 证明:(1)如图1,连接OC ,∵CD 为⊙O 的切线,∴OC ⊥CD ,∴∠OCD=90°,∵AD ⊥CD , ∴∠ADC=90°,∴∠OCD+∠ADC=180°,∴AD ∥OC ,∴∠1=∠2,∵OA=OC ,∴∠2=∠3, ∴∠1=∠3 即AC 平分∠DAB(2)如图2,∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ACB=90°,又∵∠B=60°,∴∠1=∠3=30°, 在Rt △ACD 中,32=CD ,∴342==CD AC ,在Rt △ABC 中,34=AC ,∴830cos 34cos =︒=∠=CAB AC AB ,连接OE ,∵∠EAO=2∠3=60°,OA=OE ,∴△AOE 是等边三角形,∴421===AB OA AEAAA8. 解(1)连接OB 、OD ,在△ABO 和△DBO 中,⎪⎩⎪⎨⎧===OD OA BO BO DB AB ,∴△ABO ≌△DBO ,∴∠DBO=∠ABO∵∠ABO=∠OAB=∠BDC ,∴∠DBO=∠BDC ,∴OB ∥ED ,∵BE ⊥DC ,∴∠BEC=90°, ∴∠EBO=90°,∴OB ⊥BE ,∴BE 是⊙O 的切线。