【点睛】 考查了切线的性质，矩形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理等知识点，能综合运用 性质进行推理是解此题的关键．
2．如图，点 A、B、C 分别是⊙O 上的点， CD 是⊙O 的直径，P 是 CD 延长线上的一点， AP=AC．
（1）若∠ B=60°，求证：AP 是⊙O 的切线； （2）若点 B 是弧 CD 的中点，AB 交 CD 于点 E，CD=4，求 BE·AB 的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）8． 【解析】 （1）求出∠ ADC 的度数，求出∠ P、∠ ACO、∠ OAC 度数，求出∠ OAP=90°，根据切线判定 推出即可； （2）求出 BD 长，求出△ DBE 和△ ABD 相似，得出比例式，代入即可求出答案． 试题解析：连接 AD，OA，
∵ ∠ HGC=∠ GCM=∠ GHE=90°， ∴ 四边形 GHMC 是矩形， ∴ GC=HM=a，DC=DG﹣GC=2a， ∵ DG=HE，GC=HM， ∴ ME=CD=2a，BM=2a，
在 Rt△ BOM 中，tan∠ MBO= MO a 1 ， BM 2a 2
∵ EH∥ DP， ∴ ∠ P=∠ MBO，
CE 4
O 于点 M、N，且 HDE HCE ，点 P 在 HD 的延长线上，连接 PO 并延长交 CM 于 点 Q，若 PD 11， DN 14 ， MQ OB ，求线段 HM 的长．
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3） 8 3 7
【解析】 【分析】 （1）由∠ D+∠ E=90°，可得 2∠ D+2∠ E=180°，只要证明∠ AOD=2∠ D 即可； （2）如图 2 中，作 OR⊥AF 于 R．只要证明△ AOR≌ △ ODG 即可； （3）如图 3 中，连接 BC、OM、ON、CN，作 BT⊥CL 于 T，作 NK⊥CH 于 K，设 CH 交 DE 于 W．解直角三角形分别求出 KM，KH 即可； 【详解】
DM OD
OA ， y 2OE
x x
2 ．（ 0＜x
2）
（3）（i） 当 OA=OC 时．∵ DM 1 BM 1 OC 1 x ．在 Rt△ ODM 中，
2
2
2
OD OM 2 DM 2 2 1 x2 ． 4
∵
y
DM ， OD
1x 2 2 1 x2
x x
2 ．解得 x
14 2
5．已知 AB，CD 都是 O 的直径，连接 DB，过点 C 的切线交 DB 的延长线于点 E．
1 如图 1，求证： AOD 2 E 180 ； 2 如图 2，过点 A 作 AF EC交 EC 的延长线于点 F，过点 D 作 DG AB，垂足为点
G，求证： DG CF ；
3 如图 3，在 2 的条件下，当 DG 3 时，在 O 外取一点 H，连接 CH、DH 分别交
tanP= CO 1 ， PO 2
设 OC=k，则 PC=2k，
在 Rt△ POC 中，OP= 5 k=5，
解得：k= 5 ，OE=OC= 5 ，
在 Rt△ OME 中，OM2+ME2=OE2，5a2=5， a=1， ∴ HE=3a=3， 在 Rt△ HFE 中，∠ HEF=45°，
∴ EF= 2 HE=3 2 ．
∵ FG∥ AD，
∴ ∠ FGD+∠ D=180°，
∵ ∠ D=90°，
∴ ∠ FGD=90°，
∵ AB 为⊙O 的直径，
∴ ∠ BEA=90°，
∴ ∠ BED=90°，
∴ ∠ D=∠ HGD=∠ BED=90°，
∴ 四边形 HGDE 是矩形，
∴ DE=GH，DG=HE，∠ GHE=90°，
∵ BF AF ，
3．如图，⊙A 过▱OBCD 的三顶点 O、D、C，边 OB 与⊙A 相切于点 O，边 BC 与⊙O 相交于 点 H，射线 OA 交边 CD 于点 E，交⊙A 于点 F，点 P 在射线 OA 上，且∠ PCD=2∠ DOF，以 O 为原点，OP 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，点 B 的坐标为（0，﹣2）． （1）若∠ BOH=30°，求点 H 的坐标； （2）求证：直线 PC 是⊙A 的切线；
∵ CD 是直径，
∴ ∠ DBC=90°， ∵ CD=4，B 为弧 CD 中点，
∴ BD=BC=
，
∴ ∠ BDC=∠ BCD=45°，
∴ ∠ DAB=∠ DCB=45°，
即∠ BDE=∠ DAB，
∵ ∠ DBE=∠ DBA，
∴ △ DBE∽ △ ABD，
∴
，
∴ BE•AB=BD•BD=
．
考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质．
∵ 四边形 GHED 是矩形， ∴ EH∥ DG， ∴ ∠ OMH=∠ OCP=90°， ∴ ∠ HOM=90°﹣∠ OHM=90°﹣45°=45°， ∴ ∠ HOM=∠ OHM， ∴ HM=MO， ∵ OM⊥BE， ∴ BM=ME，
∴ OM= 1 AE， 2
设 OM=a，则 HM=a，AE=2a，AE= 2 DG，DG=3a， 3
2
OA OC 2DM ，即可得出结论； OE OD OD
（3）分三种情况利用勾股定理或判断出不存在，即可得出结论．
详解：（1）∵ OD⊥BM，AB⊥OM，∴ ∠ ODM=∠ BAM=90°．
∵ ∠ ABM+∠ M=∠ DOM+∠ M，∴ ∠ ABM=∠ DOM．
∵ ∠ OAC=∠ BAM，OC=BM，∴ △ OAC≌ △ BAM，
1 证明：如图 1 中，
O 与 CE 相切于点 C， OC CE ， OCE 90 ， D E 90 ， 2 D 2 E 180 ，
∴ ∠ HEF=∠ FEA= 1 ∠ BEA= 1 90o =45°，
2
2
∴ ∠ HFE=90°﹣∠ HEF=45°，
∴ ∠ HEF=∠ HFE，
∴ FH=EH，
∴ FG=FH+GH=DE+DG；
（3）解：设 OC 交 HE 于 M，连接 OE、OF，
∵ EH=HF，OE=OF，HO=HO， ∴ △ FHO≌ △ EHO， ∴ ∠ FHO=∠ EHO=45°，
∴ ∠ OHB=∠ ODC ∴ ∠ OHB=∠ B ∴ OH=OB=2 ∴ 在 Rt△ OMH 中， ∵ ∠ BOH=30°，
∴ MH= 1 OH=1，OM= 3 MH= 3 ， 2
∴ 点 H 的坐标为（1，﹣ 3 ），
（2）连接 AC． ∵ OA=AD， ∴ ∠ DOF=∠ ADO ∴ ∠ DAE=2∠ DOF ∵ ∠ PCD=2∠ DOF， ∴ ∠ PCD=∠ DAE ∵ OB 与⊙O 相切于点 A ∴ OB⊥OF ∵ OB∥ CD ∴ CD⊥AF ∴ ∠ DAE=∠ CAE ∴ ∠ PCD=∠ CAE ∴ ∠ PCA=∠ PCD+∠ ACE=∠ CAE+∠ ACE=90° ∴ 直线 PC 是⊙A 的切线； （3）解：⊙O 的半径为 r．
∴ AC=AM．
（2）如图 2，过点 D 作 DE∥ AB，交 OM 于点 E．
∵ OB=OM，OD⊥BM，∴ BD=DM．
∵ DE∥ AB，∴ DM ME ，∴ AE=EM．∵ OM= BD AE
2
，∴
AE=
1（ 2
2 x）．
∵ DE∥ AB，∴ OA OC 2DM ， OE OD OD
∴
的平行线交 PC 于点 G，求证：FG=DE+DG；
(3)在(2)的条件下，如图 3，若 AE= 2 DG，PO=5，求 EF 的长． 3
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF=3 2 ．
【解析】
【分析】
（1）连接 OC，求出 OC∥ AD，求出 OC⊥PC，根据切线的判定推出即可； （2）连接 BE 交 GF 于 H，连接 OH，求出四边形 HGDE 是矩形，求出 DE=HG，FH=EH，即
中考数学圆的综合提高练习题压轴题训练附详细答案
一、圆的综合
1．如图，点 P 在⊙O 的直径 AB 的延长线上，PC 为⊙O 的切线，点 C 为切点，连接 AC， 过点 A 作 PC 的垂线，点 D 为垂足，AD 交⊙O 于点 E． (1)如图 1，求证：∠ DAC=∠ PAC；
(2)如图 2，点 F（与点 C 位于直径 AB 两侧）在⊙O 上， BF FA ，连接 EF，过点 F 作 AD
在 Rt△ OED 中，DE= 1 CD= 1 OB=1，OD= 10 ， 22
∴ OE═ 3 ∵ OA=AD=r，AE=3﹣r． 在 Rt△ DEA 中，根据勾股定理得，r2﹣（3﹣r）2=1
解得 r= 5 ． 3
【点睛】 此题是圆的综合题，主要考查了平行四边形的性质，圆内接四边形的性质，勾股定理，切 线的性质和判定，构造直角三角形是解本题的关键．
∵ ∠ ADC=∠ B，∠ B=60°， ∴ ∠ ADC=60°， ∵ CD 是直径， ∴ ∠ DAC=90°， ∴ ∠ ACO=180°-90°-60°=30°， ∵ AP=AC，OA=OC， ∴ ∠ OAC=∠ ACD=30°，∠ P=∠ ACD=30°， ∴ ∠ OAP=180°-30°-30°-30°=90°， 即 OA⊥AP， ∵ OA 为半径， ∴ AP 是⊙O 切线． （2）连接 AD，BD，
可得出答案；
（3）设 OC 交 HE 于 M，连接 OE、OF，求出∠ FHO=∠ EHO=45°，根据矩形的性质得出
EH∥ DG，求出 OM= 1 AE，设 OM=a，则 HM=a，AE=2a，AE= 2 DG，DG=3a，
2
3
求出 ME=CD=2a，BM=2a，解直角三角形得出 tan∠ MBO＝ MO 1 ，tanP= CO 1 ,设
（3）若 OD= 10 ，求⊙A 的半径．
【答案】（1）（1，﹣ 3 ）；（2）详见解析；（3） 5 . 3