数学中考圆综合题附参考答案
1．如图，△ABC 中，以BC 为直径的圆交AB 于点D ，∠ACD =∠ABC ． （1）求证：CA 是圆的切线；
（2）若点E 是BC 上一点，已知BE =6，tan ∠ABC =
32，tan ∠AEC =3
5
，求圆的直径．
2. 如图右，已知直线PA 交⊙0于A 、B 两点，AE 是⊙0的直径．点C 为⊙0上一点，且AC 平分∠PAE ，过C 作CD ⊥PA ，垂足为D 。

(1)求证：CD 为⊙0的切线；
(2)若DC+DA=6，⊙0的直径为l0，求AB 的长度. 1. (1)证明：连接OC,
∵点C 在⊙0上，0A=OC,∴∠OCA=∠OAC ，∵CD ⊥PA ，∴∠CDA=90°， 有∠CAD+∠DCA=90°，∵AC 平分∠PAE ，∴∠DAC=∠CAO 。

∴∠DC0=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°。

又∵点C 在⊙O 上，OC 为⊙0的半径，∴CD 为⊙0的切线．
(2)解：过0作0F ⊥AB ，垂足为F ，∴∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°， ∴四边形OCDF 为矩形，∴0C=FD ，OF=CD.
∵DC+DA=6，设AD=x ，则OF=CD=6-x ，∵⊙O 的直径为10，∴DF=OC=5，∴AF=5-x ，
在Rt △AOF 中，由勾股定理得222AF +OF =OA .即22(5)(6)25x x -+-=，化简得：211180x x -+=
解得2x =或9x =。

由AD<DF ，知05x <<，故2x =。

从而AD=2, AF=5-2=3.∵OF ⊥AB ，由垂径定理知，F 为AB 的中点，∴AB=2AF=6. 3．（已知四边形ABCD 是边长为4的正方形，以AB 为直径在正方形内作半圆，P 是半圆上的动点（不与点A 、B 重合），连接PA 、PB 、PC 、PD ．
(1)如图①，当PA 的长度等于 ▲ 时，∠PAB ＝60°； 当PA 的长度等于 ▲ 时，△PAD 是等腰三角形；
(2)如图②，以AB 边所在直线为x 轴、AD 边所在直线为y 轴，建立如
图所示的直角坐标系（点A 即为原点O ），把△PAD 、△PAB 、△PBC 的面积分别记为S 1、S 2、S 3．坐标为（a ，b ），试求2 S 1 S 3－S 22的最大值，并求出此时a ，b 的值．
4、
5．（芜湖市）（本小题满分12分）
如图，BD 是⊙O 的直径，OA ⊥OB ，M 是劣弧AB ⌒上一点，过点M 点作⊙O 的切线MP 交OA 的延长线于P 点，MD 与OA 交于N 点．
（1）求证：PM ＝PN ；（2）若BD ＝4，P A ＝
3
2
AO ，过点B 作BC ∥MP 交⊙O 于C 点，求BC 的长．
6．（黄冈市）（6分）如图，点P 为△ABC 的内心，延长AP 交△ABC 的外接圆于D ，在AC 延长线上有一点E ，满足AD 2
＝AB ·AE ，求证：DE 是⊙O 的切线.
（证明：连结DO ，∵AD 2
＝AB ·AE ，∠BAD ＝∠DAE ，∴△BAD ∽△DAE ， ∴∠ADB ＝∠E. 又∵∠ADB ＝∠ACB ，∴∠ACB ＝∠E ，BC ∥DE ， 又∵OD ⊥BC ，∴OD ⊥DE ，故DE 是⊙O 的切线）
7．（义乌市）如图，以线段AB 为直径的⊙O 交线段AC 于点E ，点M 是»AE 的中点，OM 交AC 于点D ，60BOE ∠=°，
1
cos 2C =，23BC =
（1）求A ∠的度数；
（2）求证：BC 是⊙O 的切线；
（3）求¼MD 的长度． （解：（1）∵∠BOE =60° ∴∠A ＝1
2
∠BOE ＝ 30°
（2）在△ABC 中 ∵1
cos 2
C = ∴∠C =60°…1分 又∵∠A ＝30°
O
B A
C E M D
∴∠ABC =90°∴AB BC ⊥……2分 ∴BC 是⊙O 的切线
（3）∵点M 是»AE 的中点 ∴OM ⊥AE 在Rt △ABC 中 ∵23BC = ∴AB =tan 60233BC ︒=⨯=g 6 ∴
OA =
32
AB = ∴OD =1
2OA =32 ∴MD =32）
8. （兰州市）（本题满分10分）如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线与AB 的延长线交于点P ，
AC=PC ，∠COB=2∠PCB.
（1）求证：PC 是⊙O 的切线； （2）求证：BC=21
AB ；
（3）点M 是弧AB 的中点，CM 交AB 于点N ，若AB=4，求MN ·MC 的值. 解：（1）∵OA=OC,∴∠A=∠ACO ∵∠COB=2∠A ,∠COB=2∠PCB ∴∠A=∠ACO=∠PCB
∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ACO+∠OCB=90° ∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC ⊥CP ∵OC 是⊙O 的半径 ∴PC 是⊙O 的切线
（2）∵PC=AC ∴∠A=∠P ∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P
∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB ∴∠CBO=∠COB
∴BC=OC ∴BC=21
AB
(3)连接MA,MB
∵点M 是弧AB 的中点 ∴弧AM=弧BM ∴∠ACM=∠BCM
∵∠ACM=∠ABM ∴∠BCM=∠ABM
∵∠BMC=∠BMN ∴△MBN ∽△MCB
∴BM MN
MC BM = ∴BM 2
=MC ·MN
∵AB 是⊙O 的直径，弧AM=弧BM ∴∠AMB=90°,AM=BM
∵AB=4 ∴BM=22 ∴MC ·MN=BM 2
=8
9.．（本小题满分10分）如图，⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，AB 为直径，∠ABC =30°，CD 是⊙O 的切线，ED ⊥AB 于F ， (1)判断△DCE 的形状；(2)设⊙O 的半径为1，且OF =
2
1
3-，求证△DCE ≌△OCB ． 解：(1)∵∠ABC =30°，∴∠BAC =60°．又∵OA =OC , ∴△AOC 是正三角形．
又∵CD 是切线，∴∠OCD =90°，∴∠DCE =180°-60°-90°=30°．
而ED ⊥AB 于F ，∴∠CED =90°-∠BAC =30°．故△CDE 为等腰三角形． (2)证明：在△ABC 中，∵AB =2，AC =AO =1，∴BC =2
2
12-=3．
OF =
213-,∴AF =AO +OF =2
1
3+． 又∵∠AEF =30°,∴AE =2AF =3+1． ∴CE =AE -AC =3=BC ．
而∠OCB =∠ACB -∠ACO =90°-60°=30°=∠ABC ,故△CDE ≌△COB .
10、（08湖北襄樊24题）8．（本小题满分10分）
如图14，直线AB 经过O e 上的点C ，并且OA OB =，CA CB =，O e 交直线OB 于E D ，，连接EC CD ，． （1）求证：直线AB 是O e 的切线；
（2）试猜想BC BD BE ，，三者之间的等量关系，并加以证明； （3）若1
tan 2
CED ∠=
，O e 的半径为3，求OA 的长． 第6题图
A B D
E
O
F C
（1）证明：如图3，连接OC ． OA OB =Q ，CA CB =，OC AB ∴⊥． AB ∴是O e 的切线．
（2）2
BC BD BE =g ． ED Q 是直径，90ECD ∴∠=o
． 90E EDC ∴∠+∠=o
． 又90BCD OCD ∠+∠=o
Q ，OCD ODC ∠=∠， BCD E ∴∠=∠．
又CBD EBC ∠=∠Q ，BCD BEC ∴△∽△ BC BD BE BC
∴
=
．2
BC BD BE ∴=g ． （3）1tan 2CED ∠=Q ，12CD EC ∴=． BCD BEC Q △∽△，1
2
BD CD BC EC ∴==．
设BD x =，则2BC x =． 又2
BC BD BE =g ，2
(2)(6)x x x ∴=+g
． 解之，得10x =，22x =．0BD x =>Q ，2BD ∴=． 325OA OB BD OD ∴==+=+=．。