约束条件为：
8 25 x1 8 15 x2 1800 x1 0, x2 0 x , x 为整数 1 2
线性规划模型：
min z 40 x1 36 x2
gongren.lg4
Model: min=40*x1+36*x2; 5*x1+3*x2>45; @gin(x1); @gin(x2); end
5 x1 3x2 45 s.t. x1 0, x2 0 x , x 为整数 1 2
• 问题2：某医院负责人每日至少需要下列数量的护士：
班次 时间 最少护士数
1 2 3 4 5 6
6时～10时 10时～14时 14时～18时 18时～22时 22时～02时 02时～06时
使用LINGO的一些注意事项
6. 每条语句都以分号结束(结束行end除外)，最好一 行只写一条语句
7. 运算符号的应用如:min = 及系数 “*”变量
7. 可用“@FREE（）”将变量的非负假定取消 8. 对0-1变量说明： @bin ( ) 9. 对整数变量说明： @gin ( )
例题荟萃
一般线性规划
问题1： 某厂每日8小时的产量不低于1800件。为了进行
质量控制，计划聘请两种不同水平的检验员。一级检验员的 标准为：速度25件/小时，正确率98%，计时工资4元/小时； 二级检验员的标准为：速度15件/小时，正确率95%，计时工 资3元/小时。检验员每错检一次，工厂要损失2元。为使总检 验费用最省，该工厂应聘一级、二级检验员各几名？ 解 设需要一级和二级检验员的人数分别为x1、x2人, 则应付检验员的工资为：
6
x1 x6 60 x1 x2 70 x2 x3 60 x3 x4 50 x4 x5 20 x5 x6 30 xi 0, (整数)，i 1,..., 6.
Lingo求解 hushi.lg4
5
6
22时～02时
02时～06时
20
30
每班的护士在值班开始时间向病 房报到，连续工作8小时.医院领导 为满足每班所需要的护士数，最 少需雇佣多少护士？
LINDO 公司软件产品简要介绍
美国芝加哥(Chicago)大学的Linus Schrage教授于1980 年前后开发, 后来成立 LINDO系统公司（LINDO Systems Inc.）， 网址：
LINDO: Linear INteractive and Discrete Optimizer LINGO: Linear INteractive General Optimizer What’s Best!: (SpreadSheet e.g. EXCEL) (V6.1) (V9.0) (V8.0)
7个选项卡(可设置80-90个控制参数)
详细说明 （略）
使用LINGO的一些注意事项
1. “>”（或“<”）号与“>=”（或“<=”）功能相同 2. 变量名以字母开头 3. 变量名不区分大小写
4. 缺省假定所有变量非负；
5. 行中注有“!”符号的后面部分为注释，以分号结 束，如: ! It’s Comment；
非 线 性 规 划
整 数 规 划
组 合 优 化
不 确 定 规 划
多 目 标 规 划
目 标 规 划
网 络 优 化
动 态 规 划
约束优化的 简单分类
数学规划 连 续 优 化 离 散 优 化
min s.t.
f ( x) hi ( x) 0, i 1,...,m g j ( x ) 0, j 1,...,l xD
n
• 线性规划(LP) 目标和约束均为线性函数 • 非线性规划(NLP) 目标或约束中存在非线性函数 二次规划(QP) 目标为二次函数、约束为线性 • 整数规划(IP) 决策变量(全部或部分)为整数 整数线性规划(ILP)，整数非线性规划(INLP) 纯整数规划(PIP), 混合整数规划(MIP) 一般整数规划，0-1（整数）规划
非线性规划 (NLP) LINGO
LINDO
• 例 如何在LINGO中求解如下的LP问题：
min s.t. x1 x 2 350 x1 100 2 x1 x 2 600 x1 , x 2 0 2 x1 3 x 2
• 在LINGO模型窗口中输入如下代码： model: min 2 x1 3 x 2 min=2*x1+3*x2; s.t. x1+x2>=350; x1 x 2 350 x1>=100; x1 100 2*x1+x2<=600; end 2 x1 x 2 600 • 然后点击工具条上的按钮 x1 , x 2 0 即可。
8 4 x1 8 3 x2 32 x1 24 x2
因检验员错检而造成的损失为：
ห้องสมุดไป่ตู้
(8 25 2% x1 8 15 5% x2 ) 2 8x1 12 x2
故目标函数为：
min z (32 x1 24 x2 ) (8x1 12 x2 ) 40 x1 36 x2
juli2.lg4
0-1整数线性规划
max z x1 1.2 x2 0.9 x3 1.1x4
2 x1 3x2 3x3 4 x4 6 s.t. x1 , x2为0,1变量 x 为整数 Model: 3 max=x1+1.2*x2+0.9*x3+1.1*x4; 2*x1+3*x2+3*x3+4*x4<=6; @bin(x1); @bin(x2); juli3.lg4 @gin(x3); @free(x4) ; end
60 70 60 50 20 30
每班的护士在值班开始时间向病房报到，连续工作8小 时.医院领导为满足每班所需要的护士数，最少需雇佣 多少护士？
班次 1 2 3 4
时间 6时～10时 10时～14时 14时～18时 18时～22时
最少 60 70 60 50
min s.t.
z xi
i 1
LINDO API: LINDO Application Programming Interface (V3.0)
演示(试用)版、学生版、高级版、超级版、工业版、 扩展版… （求解问题规模和选件不同）
LINDO和LINGO软件能求解的优化模型
优化模型
连续优化
整数规划(IP)
线性规划 (LP)
二次规划 (QP)
(最)优化理论是运筹学的基本内容
OR/ MS/ DS 运筹学(OR: Operation Research)
管理科学(MS: Management Science)
决策科学 (DS: Decision Science)
优化(Optimization), 规划(Programming)
无 约 束 优 化 线 性 规 划
juli1.lg4
整数线性规划
max z 3 x1 2 x2 14 2 x1 3 x2 s.t. 2 x1 x2 9 x , x 为整数 1 2
Model： max=3*x1+2*x2; 2*x1+3*x2<=14; 2*x1+x2<=9; @gin(x1); @gin(x2); end
max z 110 x1 75 x2 60 x3 50 x1 x2 x3 1 1 1 s.t. x1 x2 x3 20 3 4 2 x1 , x2 0
在lingo模型窗口中输入： Model: max=110*x1+75*x2+60*x3; x1+x2+x3<=50; 1/2*x1+1/3*x2+1/4*x3<=20; @free(x3); end
状态窗口
详细说明
Model Class: LP， QP，ILP， IQP，PILP, PIQP，NLP， INLP，PINLP
State: • Global Optimum • Local Optimum • Feasible • Infeasible • Unbounded • Interrupted • Undetermined Solver Type: • B-and-B • Global • Multistart