●
频率域分析方法的重要工具是 Fouier变换, • 能量 • 功率
几个物理概念
它可以确定时域与频域的转换关系.
●
为了在频域上描述平稳过程的统计特征，需要 研究相关函数的谱分析。为此要引入谱密度. 谱密度是在频域内研究平稳过程的重要指标. 数学上 它是相关函数的Fouier变换,它的物理
意义是功率谱密度.
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2 帕塞瓦尔等式
总能量的谱表示式
2
Fourier变换的性质
● 线性性质 ● 位移性质
F [ f1 (t ) f 2 (t )] F [ f1 (t )] F [ f 2 (t )]



[ x(t )] dt x(t )

1 2


E x 2 (t ) dt.
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功率信号： 0 lim
T

T
T
x 2 (t )dt
t2
E

t1

x 2 (t ) dt 称为x(t )在( - , +) 上的总能量。
5
显而易见，一个能量信号具有零平均功率，而一 个功率信号具有无限大能量。
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信号能量的解释：对于电信号，通常是电压或电流， 电压和电流在己知区间 (t1, t2) 内消耗在电阻R上的能 量为 2 t 2 U (t ) t2 E dt ; E RI 2 (t )dt. t1 t1 R
p
1 t2 2 x (t )dt t2 t1 t1
1 2T
R 1 时，上述两式具有相同形式。
1 2



Fx ( ) d

2
2 即 [ x (t )] dt
1 2

Fx ( ) d
能量谱密 度
10
2
x(t )在R上的总能量 2013/11/15
工程技术中，很多重要的时间函数总能量是无限 的，而且未必绝对可积，如三角函数。
二 平稳过程的功率谱密度 1.时间函数 x(t ) 的功率谱密度
1 2 E{ FX ( , T ) } 称为 X (t ) 的功率谱密度 2T
1 lim E{ T 2T
平均功率Q
E[ FX ( , T ) ] 1 d T X (t )dt} 2 Tlim 2T S X ( )
T 2
2
1 lim E{ T 2013/11/15 2T
1 平稳过程的功率谱密度
一 预备知识
1 付氏变换 设x(t)是时间t的非周期实函数，且 的非周期实函数 且x(t) 满足 • x(t )在( , )范围内满足狄利赫利条件 • x(t )绝对可积，即
it 则 x(t ) 的傅里叶变换为： Fx ( ) x(t )e dt

• x(t )过程的总能量有限，即
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x(t ) dt
2
断点为有限 值
(t ) E (eitX ) eitx f ( x)dx;
f ( x)
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7
1 2




(t )e itx dt.
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2
随机过程
a2 [1 cos(2 0 t 2 )]} 2 a2 a2 2 2 cos( 20 t 2 ) d 0 2 2 E{

a2 a2 sin( 2 0 t 2 ) 02 2 2 a2 a2 sin 20t 2
Q E[ X 2 (t )]
2
lim
T


S X ( ) RX ( )e i d


1 RX ( ) 2
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S X ( )ei d
21 2013/11/15
22
设 则 所以：
t 2 t1 u t 2 t1 u u t2 t1 2 2
1 Fx ( )eit d dt 2


Fx ( ) x(t )eit dtd


F [ f (t t0 )] e jt0 F [ f (t )]
1 2

Fx ( )Fx* ( ) d


(n) n ● 微分性质 F [ f (t )] ( j ) F [ f (t )]
●
时域分析法与频域分析法相互联系,且各有优 点,构成了研究平稳过程的两个重要分支.
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1
随机过程
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1、能量信号
在区间(-∞，∞)内，能量为有限值的信号称为能量信 号，满足条件 2
2、功率信号


x (t )dt
有许多信号，如周期信号、随机信号等，它 们在区间(-∞，∞)内能量不是有限值在这种情 况下，研究信号的平均功率更为合适。

常数值
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0t ) ，其中a和0 例：设随机过程 X (t ) a cos( ） 皆是实常数， 是服从（0， 2 上均匀分布的随 机变量，求随机过程 X (t ) 的平均功率。
解： E[ X 2 (t )] E[a 2 cos 2 ( 0 t )]
其反变换为：
x (t )
1 2



Fx ( )eit d
称 Fx ( ) 为 x(t )的频谱密度，也简称为频谱。
包含：振幅谱 相位


有限个极值 有限个断点

x(t ) dt
x(t ) Fx (谱 ) 称为傅里叶变换对。
注：概率密度与特征函数间的关系是傅里叶变换对。
易知，x(t )是满足绝对可积的。
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随机过程
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交换求极限和积分的次序
xT (t ) 的傅里叶变换存在 当x(t)为有限值时，
存在 非负
2
Fx ( , T ) xT (t )e


it
dt
x(t )e it dt
J 1 ( t1 , t 2 ) 2 ( , u) 1 2
u 2T
-ห้องสมุดไป่ตู้T
S X ( ) lim
T
2T 1 1 2T { d R ( )e i du 0 2T 2 X 2T
1 2 1 1 2 2
u 2T
2T 1 2T d 2T 2T 2T 1 2T (2T )RX ( )e i d lim T 2T 2T

T
T
X 2 (t )dt}定义为平稳过程X (t )的平均功率
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称为平稳过程的平均功率的谱表示式 功率谱密度S X ( )通常也称为自谱密度或谱密度 它是从频率这个角度描述平稳过程的统计规律的最 主要的数字特征，其物理意义为过程的平均功率关 2013/11/15 16 于频率的分布；


S X ( )d
2T

RX ( )e i d lim 2T
应用截取函数 xT (t )
x (t ) 0 t T t T
X (t ) a cos(t ) b sin(t )
为了解决这个问题，我们通常转而去研究随机过程 在R上的平均功率，即
T
lim
1 2T

T
T
x 2 (t )dt
目的：利用傅氏变换给出平均功率的谱表示式
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随机过程
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两个结论：
1 Q E[ X (t )]
2
. lim
2
T
1 . 2T
S X ( ) 描述了随机过程X(t)的 功率谱密度： 功率在各个不同频率上的分布—— S X ( )称为 随机过程X(t)的功率谱密度。
若平稳
2
表示时间平均
S X ( ) lim Q 1 2T
T
1 E 2T
1 2 E T X (t )dt 4 T



2 FX ( , T ) d
1 2T


T
lim
1 2 E[ FX ( , T ) ]d 2T
令 T ，再取极限，交换求数学期望和积分的次序
Q E[ X (t )] E[ X (t )]＝RX (0)
2
对 S X ( ) 在X(t)的整个频率范围内积分， 便可得到X(t)的功率。 的功率 对于平稳随机过程，有：
E[ X 2 ( t )] 1 2
Q
1 2



S X ( ) d
S X ( )d
1 维纳—辛钦定理 若随机过程X(t)是平稳的，自相关函数绝对可 积，则自相关函数与功率谱密度构成一对付氏变 换，即：
2. 证明： S ( ) lim E[ FX ( , T ) ] X T 2T 1 lim E[ FX ( , T ) FX* ( ,T )] T 2T
T T 1 E[ X (t1)eit1dt1 X (t2 )eit2 dt2 ] T T 2T 1 T T lim E[ X (t1 ) X (t2 )]e i (t2 t1 ) dt1dt2 T 2T T T 1 T T lim RX (t2 t1 )e i ( t2 t1 ) dt1dt2 T 2T T T