图3-6 －函数
• 利用 －函数，含有直流分量或周期分量的 平稳随机过程ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ功率谱密度可表示为
图 3-7 直流分量
图 3-8 周期分量
• 若功率谱密度函数为常数，则自相关函数 为 —函数。
图3-9 常功率谱函数
图3-10 自相关函数
例3-1 平稳随机过程 的自相关函数为
求该随机过程的功率谱密度函数。 解：由维纳－辛钦定理，有
图 3-11 例3-1
3.2.4 几种常见的 与
例3-2 已知平稳随机过程 ，具有功率谱密度为
求该过程的自相关函数。
解：由上例可知，若自相关函数具有
的形式，则功率谱密度为
，本题中
则自相关函数具有如下形式
显然 因此 所以自相关函数为
§3.3 平稳随机过程的自相关函数时 间和等效功率谱带宽
• 自相关函数反映随机过程在不同时刻的关 联程度。
第三章 随机过程的功率谱密度
主要内容： • 随机过程的功率谱密度函数 • 平稳随机过程功率谱密度函数的性质 • 功率谱密度函数与自相关函数的关系 • 平稳随机过程的自相关时间和等效功率谱
带宽 • 联合平稳随机过程的互功率谱密度 • 白噪声与色噪声
§3.1 功率谱密度函数
3.1.1 确定信号的频谱和能量谱密度
图 3-18 样本函数及截断函数
截断函数 和 满足傅立叶变换的绝对可 积和能量有限条件，即
傅立叶变换分别为
在时间范围 内， 和 的互功率为 据巴塞伐定理 用 代换 ，则有 互功率也可表示为
图3-15 等效功率带宽
因为 所以
，且
能描述出随机 过程起伏程度
等效功率带宽定义： 通常， 说明了 中起伏的最高频率。
3.3.3 时间带宽乘积
相同的数学期望
相同的方差
0
t
0
t
(a)
图3-16
(b)
和 的样本函数曲线
• 变化缓慢， 变化快， ；
• 起伏频繁程度低， 变化起伏频繁程度 高， 。
• 时间带宽乘积：
常数
例3-3 设随机过程 的自相关函数为
试求该随机过程的自相关时间和等效功率谱 带宽。
解：由自相关函数定义
等效功率谱带宽
例3-4 已知平稳过程 的谱密度为
求 的自相关函数，自相关时间和等效带宽。 解：由自相关函数与功率谱关系有
图 3-17 例3-4
§3.4 联合平稳过程的互功率谱密度
• 自相关函数反映随机过程在不同时刻的关
3. 平稳随机过程的功率谱密度是可积函数,即
证明: 对于平稳随机过程有 平稳随机过程的均方值有限 平稳随机过程的功率谱密度可积,即
4. 功率谱与相关函数 随机过程
平稳随机过程
平稳各经历态过程
偶函 数 非负
可积 图3-4 随机过程及其功率谱密度函数
实数
3.2.3 功率谱 与 平均功率 1. 平均功率是功率谱在频率空间的积分
自相关时间从数量上直 观描述随机过程的在时
间上关联范围。
• 功率谱密度函数描述随机过程的平均功率 沿频率轴的分布。
等效功率带宽从数量上 直观描述随机过程在频
率上分布范围。
3.3.1 自相关时间
相同的数学期望
相同的方差
(a)
图3-12
(b)
和 的样本函数曲线
(a)
图 3-13
(b)
和 的自相关函数
(a)
证明：
平稳各态历经
2.特定频率 上平均功率
3.单边谱密度
与双边谱密度
物理谱密度 函数
4. －函数 • 功率谱密度指单位带宽上平均功率； • 直流与周期平稳随机过程在频率轴有离散
谱线；
零带宽上有限
功率 无限
的功率谱密度
图3-5 周期平稳随机过程及其功率谱密度
• 随机过程的功率谱密度不一定可积，即 • －函数
§3.1 功率谱密度函数
3.1.1 确定信号的频谱和能量谱密度
确定信号 是在
的非周期实函数，
的傅立叶变换存在的充要条件是：
(1). 满足狄利赫利条件
(2). 总能量有限，即
则信号 的傅立叶变换为 傅立叶反变换为
根据巴塞伐(Parseval)定理(总能量的谱表达式) 称为信号的能量谱密度。
3.1.2 随机过程的功率谱密度 • 随机过程的样本函数 不满足傅立叶存在的
(b)
图 3-14 自相关时间
因为
，有
由于 扩展比 要大一些， 因此
k1 能描述相关 程度
自相关时间定义：
通常，当 时，可认为 与 的相关性 已经很弱，实际上已经不相关了。
3.3.2 等效功率谱带宽
相同的数学期望
相同的方差
0
t
0
t
(a)
图3-15
(b)
和 的样本函数曲线
(a)
(b)
图3-15 功率谱
功率谱密度与自相关 函数是傅立叶变换对
证明：由功率谱密度函数定义
在区间 定义 则有
令则
得证。
功率谱密度与自相关函数时间 平均值是傅立叶变换对
3.2.2 功率谱密度的性质 1. 功率谱密度为非负实函数，即 证明: 根据功率谱密度定义
2. 功率谱密度函数为 的偶函数,即
证明 : 由功率谱与自相关函数的关系 同理
• 样本函数在时间区间 的平均功率。 • 由于样本函数是随机过程的任何一个样本函数，
取决于随机试验，平均功率具有随机性。 • 可采用集合平均消除样本函数的随机性，即
两边取极限
若设 上式表示为
称为随机过程 的功率谱密度。 如随机过程是宽平稳过程时，则
§3.2 功率谱密度与自相关函数之 间的关系及其性质
绝对可积和能量可积条件，傅立叶不存在。
图 3-1 样本函数
• 采取截断函数 规范化随机信号，使之满 足傅立叶变换条件。
保留有限区 间的数据
置其它区 间为0
图 3-2 及截断函数
截断函数定义为：
当T为有限值时，截断函数满足傅立叶变换 条件，傅立叶变换为
傅立叶反变换为 由巴塞伐定理得
对上式两边除2T
• 自相关函数是从时间域上描述随机过程统 计特性的重要特征。
• 功率谱密度是从频率域上描述随机过程统 计特性的重要特征。
• 自相关函数 功率谱密度？
自相关函数
?
功率谱密度
time 随机过程
frequency
图3-3 功率谱密度与自相关函数
3.2.1 维纳—辛钦定理 平稳各态历经随机过程 的自相关函数 和功率谱密度 有如下关系：
联程度。
功率谱密度函数
• 互相关函数反映多个随机过程在不同时刻
的关联程度。
互功率谱密度函数
3.4.1 互功率谱
• 随机过程的样本函数不满足傅立叶存在的 绝对可积和能量可积条件。
• 采取截断函数规范化随机信号，使之满足 傅立叶变换条件。
保留有限区 间的数据 置其它 区间为0
保留有限区 间的数据 置其它 区间为0