通常用信号在其定义域内的总量来表示信号的大小， 称为信号的规范量。
一阶规范量，若模可积，即满足

x(t) dt
则一阶规范量定义为
否则定义为

x(t) x(t) dt
1

x(t)
lim 1
T
x(t) dt
1 T 2T T
二阶规范量，若模可积定义为
否则定义为
T
2T *2

2
X X (T ,) d
取集合平均可得
E

1 2T
T T
x2
(t
)dt


E

2T
1 *
2

XX
(T ,)
2
d


随机过程的平均功率
lim 1
T 2T
T T
E
x2
(t)
dt

1
2

lim
E

XX
(2) (齐次性) x x ，x Rn , R;
(3) (三角不等式 ) x y x y ，x, y Rn. 则称 x 为向量x的范数.
在向量空间 Rn(C n )中,设x ( x1 , x2 ,, xn )T 常用的向量x的范数有
1 范数 x 1 x1 x2 xn
随机过程的功率谱密度
2019/6/7
1
引言
在许多领域的理论与实际应用中，广泛应用到傅立叶变
换这一工具。一方面由于确定性信号的频谱、线性系统的频
率响应等具有鲜明的物理意义。另一方面，在时域上计算确
定性信号通过线性系统必须采用大量的卷积运算，转换到频
域上分析时，可以变换成简单的乘积运算，从而使运算量大
x(t)
-T
T
t
截取函数的傅立叶变换
X X (T,)

xT
(t
)e
jt
dt
截取函数应满足帕塞瓦定理
xT
(t)

1
2

X
X
(T
,
)e
jt
d
T x(t)2 dt 1
T
2

2
X X (T ,) d
两边同除以2T可得
1
2T
T x2 (t)dt 1
2
信号s(t)的总能量为 E s2 (t)dt
根据帕塞瓦尔定理：对能量有限信号，时域内信号的 能量等于频域内信号的能量。即
E s2 (t)dt 1

2
S() d

2
其中 S() 2 称为s(t)的能量谱密度（能谱密度）。
有限能量信号：
E

X
X (T 2T
,)
2

2、功率谱密度是ω 的实函数。
3、对于实随机过程来说，功率谱密度是ω 的偶函数，即
SX ()＝SX (－)
截取函数 xT (t) 为t的实函数，根据傅立叶变换的性质
X
* X
(T ,)

X
X
(T , )
于是
X
X
(T , )
2

XX
(T
,
)
X
* X
(T , )
2 范数 x 2 ( x1 2 x2 2 xn 2 )12
范数
x

max 1in
xi
p 范数, p 1
x
p
(
x1
p

x2
p

xn
p
1
)p
显然
x
和
1
x2
是
x
p在p 1和p 2时的特例
确定信号的频谱和能量谱
设信号s(t)为非周期实函数，且满足：
1)

s(t) dt
，即s(t)绝对可积；
2) s(t)在内只有有限个第一类间断点和极值点。
那么，s(t)的傅立叶变换存在，为
S () s(t)e jtdt
又称为频谱密度，也简称为频谱。
信号s(t)可以用频谱表示为
s(t) 1 S()e jtd
为减少，因而傅立叶变换是确定性信号分析的重要工具。
在随机信号分析领域能否应用傅立叶变换，随机信号是否
存在某种谱特征？回答是可以，不过在随机信号情况下，必
须进行某种处理以后，才能应用傅立叶分析这一工具。因为
一般随机信号的样本函数不满足傅立叶变换的绝对可积条件
，即

x(t) dt
确定信号的大小、能量和功率 6.1确定信号的大小、能量和功率
到。若随机过程广义平稳
P A E x2 (t) E x2 (t)
2、
P 1
2

SX ()d
若随机过程广义平稳
E
x2
(t)

1
2

SX ()d
功率谱密度的性质
1、功率谱密度为非负的，即
SX () 0
SX
()

lim
T
(T ,)
2
d
T
2T
P lim 1 T 2T
T T
E
x 2
(t)
dt

1
2

SX ()d
功率谱密度
SX
()

lim
T
1 2T
E[
XT
()
2]
两个结论
1、
P A E x2 (t)
随机过程的平均功率可以通过对过程的均方值求时间平均得
在的条件
s2 (t)dt

是能量谱密度存
随机信号的功率
样本函数x(t)不满足绝对可积的条件，但功率是有限的
P lim 1 T x(t) 2 dt T 2T T 因此，可以研究随机过程的功率谱。
样本函数x(t)的截取函数
xT
(t
)

x(t 0
)
t T 其他
x(t) x(t) 2 dt
2

x(t) lim 1 T x(t) 2 dt2T Nhomakorabea 2T T
向量范数
定义1. 对于n维向量空间 Rn中任意一个向量 x,
若存在唯一一个实数 x R与x对应，且满足 (1) (正定性 ) x 0,且x Rn , x 0 x 0;

X
* X
(T
,
)
X
X
(T
,
)

X X (T, ) 2
4、功率谱密度可积，即

SX ()d
功率谱密度与自相关函数
功率谱密度的表达式为
SX
()

lim
T
E

X
X (T 2T
,)
2

其中
X X (T ,)

xT
(t
)e

jt
dt
XX
(T , )
2

XX
(T , ) X
* X
(T , )
功率谱密度可表示为
SX
()

lim
T
E
1 2T
T T
x(t1 )e
jt1 dt1
T T
x(t2
)e
jt2
dt2

1
lim T 2T
T T
T
E
T
x(t1)x(t2 ) e e jt1 jt2 dt1dt2