2 p k-1 k
B(C)=C(C 为常数)。
示成 φ（B）Xt=εt (2.1.3)
例 如 ， 二 阶 自 回 归 模 型 Xt=0.7Xt-1+0.3Xt-2+0.3Xt-3+ ε t 可 写 成 （1-0.7B-0.3B2）Xt=εt 二、滑动平均模型（MA） 有时， 序列 Xt 的记忆是关于过去外部冲击值的记忆， 在这种情况 下，Xt 可以表示成过去冲击值和现在冲击值的线性组合，即 Xt=εt-θ1εt-1-θ2εt-2-……-θqεt-q (2.1.4)
1 ∞
数｛Gk｝称为格林函数。它描述了系统对过去冲击的动态记忆性 强度。
2 序列的逆转形式：若｛Yt｝可表示为：
εt= Yt-π1 Yt-1-π2 Yt-2-……-πk Yt-k-……=π(B) Yt 且 ∑ π k < ∞ ，则称｛Yt｝具有逆转形式（或可逆形式） 。
1 ∞
一、 MA 模型 1. MA 模型本身就是传递形式。 2. MA(q)总是平稳的（由上一章的例） ，MA（∞）在系数级数绝对 收敛的条件下平稳。 3. MA(q)模型的可逆性条件。 先以 MA（1）(Yt=εt-θ1εt-1)为例进行分析。 MA(1)的可逆性条件为： θ 1 < 1 。 如果引入滞后算子表示 MA(1)，
1 -1
，θ2， ……，θq）所形成的集合。 例：求 MA(2)的可逆域。 解：由 Yt = ε t − θ 1ε t −1 − θ 2 ε t − 2 ，其特征方程为：
θ ( B) = 1 − θ 1 B − θ 2 B 2 = 0
该方程的两个根为：
λ1 =
− θ 1 − θ 12 + 4θ 2 2θ 2 − θ 1 + θ 12 + 4θ 2 2θ 2
形式为： Xt=φ1 Xt－1+φ2 Xt－2+…+φp Xt－p+εt （2.1.2）
为了简便运算和行文方便，我们引入滞后算子来简记模型。设 B 为滞后算子，即 BXt=Xt-1, 则 B(B Xt)=B Xt=Xt-k 利用这些记号， （2.1.2）式可化为： Xt=φ1BXt+φ2B2Xt+φ3B3Xt+……+φpBpXt+εt 从而有： （1-φ1B-φ2B -……-φpB ）Xt=εt 记算子多项式φ（B）＝（1-φ1B-φ2B2-……-φpBP）,则模型可以表
常记作 AR(1)。其中｛Xt｝为零均值（即已中心化处理）平稳序列， φ为 Xt 对 Xt－1 的依赖程度，εt 为随机扰动项序列（外部冲击） 。 如果 Xt 与过去时期直到 Xt-p 的取值相关，则需要使用包含 Xt－
1
， ……Xt-p 在内的 p 阶自回归模型来加以刻画。 P 阶自回归模型的一般
θ 2 − θ 1 = 1 − (1 +
由于θ 1、θ 2 是实数， λ1 与λ2 必同为实数或共轭复数。 又因为 λi > 1， 因此
1m 1 >0 λi
故
θ 2 ± θ 1 = 1 − (1 m
1 1 )(1 m ) < 1 λ1 λ2 1 < 1 可以推出至 λ1 λ2 1 1 )(1 m ) < 1 可推出 λ1 λ2
反之，如果 θ 2 < 1 ，且θ 2 ± θ 1 < 1 。那么从 θ 2 = 少有一个 λi > 1 ，例如，假设 λ1 > 1，则根据1 − (1 m
(1 m
1 1 1 1 )(1 m ) > 0 ，由 1 m > 0 可以推出 1 m > 0 ，从而 λ 2 > 1 。因此， λ1 λ2 λ1 λ2
则 Yt=（1-θ1B）εt，可逆条件 θ 1 < 1 等价于θ(B)=1-θ1B=0 的根全在 单位圆外。 对于一般的 MA(q)模型，利用滞后算子表示有： Yt=（1-θ1B-θ2B2-……- θqBq）εt = θ(B)εt 其可逆的充要条件是：θ(B) =0 的根全在单位圆外（证明见 Box-Jenkins，P79） 。 在可逆的情况下，服从 MA(q)模型的序列可以表示成无穷阶的 AR 模型： θ (B)Yt=εt MA(q)的可逆域 ：使θ(B) =0 的根全在单位圆之外的系数向量（ θ
此模型常称为序列 Xt 的滑动平均模型，记为 MA(q)， 其中 q 为滑动 平均的阶数，θ1，θ2…θq 为参滑动平均的权数。相应的序列 Xt 称为 滑动平均序列。 使用滞后算子记号， （2.1.4）可写成 Xt=（1-θ1B-θ2B2-……- θqBq）qt=θ(B)εt 三、自回归滑动平均模型 如果序列｛Xt｝的当前值不仅与自身的过去值有关，而且还与其 以前进入系统的外部冲击存在一定依存关系， 则在用模型刻画这种动 态特征时，模型中既包括自身的滞后项，也包括过去的外部冲击， 这 种模型叫做自回归滑动平均模型，其一般结构为： Xt=φ1Xt-1+φ2Xt-2+……+φpXt-p+εt-θ1εt-1-θ2εt-2-……-θqεt-q (2.1.6) 简记为 ARMA(p, q)。利用滞后算子，此模型可写为 φ（B）Xt=θ(B)εt （2.1.7） (2.1.5)
第二节
线性时间序列模型的平稳性、可逆性和传递性
首先介绍两个概念。
1 序列的传递形式：设｛Yt｝为随机序列， ｛εt｝为白噪声，若｛Yt｝
可表示为： Βιβλιοθήκη t=εt+G1εt-1+G2εt-2+……+Gkεt-k+……=G(B) εt 且 ∑ G k < ∞ ，则称｛Yt｝具有传递形式，此时｛Yt｝是平稳的。 系
第一章 第一节
平稳时间序列模型及其特征
模型类型及其表示
一、自回归模型（AR） 由于经济系统惯性的作用，经济时间序列往往存在着前后依存关 系。 最简单的一种前后依存关系就是变量当前的取值主要与其前一时 期的取值状况有关。 用数学模型来描述这种关系就是如下的一阶自回 归模型： Xt=φXt-1+εt （2.1.1）
λ2 =
由二次方程根与系数的关系，有
λ1 λ 2 = −
1 θ , λ1 + λ 2 = − 1 θ2 θ2
当 MA（2）平稳时，根的模 λ1 与 λ 2 都必须大于 1，因此必有：
θ2 =
1 <1 λ1 λ2
由根与系数的关系，可以推出如下式子：
θ 2 + θ 1 = 1 − (1 −
1 1 )(1 − ) λ1 λ2 1 1 )(1 + ) λ1 λ2