第六章 谱分析 Spectral Analysis到目前为止，t 时刻变量t Y 的数值一般都表示成为一系列随机扰动的函数形式，一般的模型形式为：∑∞=-+=0j j t j t Y εψμ (6.1)我们研究的重点在于，这个结构对不同时点t 和τ上的变量t Y 和τY 的协方差具有什么样的启示。
这种方法被称为在时间域(time domain)上分析时间序列+∞∞-}{t Y 的性质。
在本章中，我们讨论如何利用型如)cos(t ω和)sin(t ω的周期函数的加权组合来描述时间序列t Y 数值的方法，这里ω表示特定的频率，表示形式为：ωωωδωωωαμππd t d t Y t )sin()()cos()(00⎰⎰++= (6.2)上述分析的目的在于判断不同频率的周期在解释时间序列+∞∞-}{t Y 性质时所发挥的重要程度如何。
如此方法被称为频域分析(frequency domain analysis)或者谱分析(spectral analysis)。
我们将要看到，时域分析和频域分析之间不是相互排斥的，任何协方差平稳过程既有时域表示，也有频域表示，由一种表示可以描述的任何数据性质，都可以利用另一种表示来加以体现。
对某些性质来说，时域表示可能简单一些；而对另外一些性质，可能频域表示更为简单。
§6.1 母体谱我们首先介绍母体谱，然后讨论它的性质。
6.1.1 母体谱及性质假设+∞∞-}{t Y 是一个具有均值μ的协方差平稳过程，第j 个自协方差为：)])([(),cov(μμγ--==--j t t j t t j Y Y E Y Y (6.3) 假设这些自协方差函数是绝对可加的，则自协方差生成函数为：∑+∞-∞==j j j Y z z g γ)( (6.4)这里z 表示复变量。
将上述函数除以π2，并将复数z 表示成为指数虚数形式)ex p(ωi z -=，1-=i ，则得到的结果(表达式)称为变量Y 的母体谱：∑+∞-∞=--==j j i j i Y Y e e g s ωωγππω21)(21)( (6.5)注意到谱是ω的函数：给定任何特定的ω值和自协方差j γ的序列+∞∞-}{j γ，原则上都可以计算)(ωY s 的数值。
利用De Moivre 定理，我们可以将j i e ω-表示成为：)sin()cos(j i j e j i ωωω-=-因此，谱函数可以等价地表示成为：∑+∞-∞=-=j j Y j i j s )]sin()[cos(21)(ωωγπω (6.6)注意到对于协方差平稳过程而言，有：j j -=γγ，因此上述谱函数化简为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧----++-=∑+∞=10)]sin()sin()cos()[cos(21)]0sin()0[cos(21)(j j Y j i j i j j i s ωωωωγπγπω利用三角函数的奇偶性，可以得到：⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=∑+∞=10)cos(221)(j jY j s ωγγπω (6.7) 假设自协方差序列+∞∞-}{j γ是绝对可加的，则可以证明上述谱函数)(ωY s 存在，并且是ω的实值、对称、连续函数。
由于对任意k π2，有：)()2(ωπωY Y s k s =+因此)(ωY s 是周期函数，如果我们知道了],0[π内的所有)(ωY s 的值，我们可以获得任意ω时的)(ωY s 值。
§6.2 不同过程下母体谱的计算 假设随机过程+∞∞-}{t Y 服从)(∞MA 过程：t t L Y εψμ)(+=这里：∑∞==0)(j jj L L ψψ，∑∞=∞<0||j j ψ，⎩⎨⎧≠==t s t s E s t ,0,)(2σεε根据前面关于)(∞MA 过程自协方差生成函数的推导：)()()(12-=z z z g Y ψψσ因此得到)(∞MA 过程的母体谱为：)()(21)(2ωωψψσπωi i Y e e s -=(6.8) 例如，对白噪声过程而言，1)(=z ψ，这时它的母体谱函数是常数： πσω2)(2=Y s 下面我们考虑)1(MA 过程，1-+=t t t Y εθε此时：z z θψ+=1)(，则母体谱为：)1(21)1)(1(21)(222θθθσπθθσπωωωωω+++=++=--i i i i Y e e e e s 可以化简成为：)]cos(21(21)(22ωθθσπω++=Y s 显然，当0>θ时，谱函数)(ωY s 在],0[π内是ω的单调递减函数；当0<θ时，谱函数)(ωY s 在],0[π内是ω的单调递增函数。
对)1(AR 过程而言，有：t t t Y c Y εφ++=-1这时只要1||<φ，则有：)1/(1)(z z φψ-=因此谱函数为：)]cos(21[21)1(21)1)(1(21)(22222ωφφσπφφφσπφφσπωωωωω-+=+--=--=--i i i i Y e e e e s该谱函数的性质为：当0>φ时，谱函数)(ωY s 在],0[π内是ω的单调递增函数；当0<φ时，谱函数)(ωY s 在],0[π内是ω的单调递减函数。
一般地，对),(q p ARMA 过程而言：q t q t t t p t p t t t Y Y Y c Y ------+++++++++=εθεθεθεφφφ 22112211则母体谱函数为：)1()1()1()1(2)(2212212212212ωωωωωωωωωωωωφφφθθθφφφθθθπσωip p i i iq q i i ip p i i iq q i i Y e e e e e e e e e e ee s ----++++⨯----++++=------如果移动平均和自回归算子多项式可以进行下述因式分解：)1()1)(1(121221z z z z z z q q q ηηηθθθ---=++++ )1()1)(1(121221z z z z z z p p p λλλφφφ---=----则母体谱函数可以表示为：∏∏==-+-+=pj j j qj j j Y s 12122)]cos(21[)]cos(21[2)(ωλλωηηπσω1. 从母体谱函数中计算自协方差如果我们知道了自协方差序列+∞∞-}{j γ，原则上我们就可以计算出任意ω的谱函数)(ωY s 的数值。
反过来也是对的：如果对所有在],0[π内的ω，已知谱函数)(ωY s 的数值，则对任意给定的整数k ，我们也能够计算k 阶自协方差k γ。
这意味着母体谱函数)(ωY s 和自协方差序列+∞∞-}{j γ包含着相同的信息。
其中任何一个都无法为我们提供另外一个无法给出的推断。
下面的命题为从谱函数计算自协方差提供了一个有用的公式：命题6.1 假设+∞∞-}{j γ是绝对可加的自协方差序列，则母体谱函数与自协方差之间的关系为：ωωγωππd e s k i Y k ⎰+-=)(上述公式也可以等价地表示为：ωωωγππd k s Y k )cos()(⎰+-=利用上述谱公式，可以实现谱函数与自协方差函数之间的转换。
2. 解释母体谱函数假设0=k ，则利用命题6.1可以得到时间序列的方差，即0γ，计算公式为：ωωγππd s Y ⎰+-=)(0根据定积分的几何意义，上式说明母体谱函数在区间],[ππ-内的面积就是0γ，也就是过程的方差。
更一般的，由于谱函数)(ωY s 是非负的，对任意],0[1πω∈，如果我们能够计算：ωωωωd s Y ⎰+-11)(这个积分结果也是一个正的数值，可以解释为t Y 的方差中与频率的绝对值小于1ω的成分相关的部分。
注意到谱函数也是对称的，因此也可以表示为：ωωωωωωωd s d s Y Y ⎰⎰++-=111)(2)(这个积分表示频率小于1ω的随机成分对t Y 方差的贡献。
但是，频率小于1ω的随机成分对t Y 方差的贡献意味着什么？为了探索这个问题，我们考虑更为特殊一些的时间序列模型：∑=+=Mj j j j j t t t Y 1)]sin()cos([ωδωα这里j α和j δ是零均值的随机变量，这意味着对所有时间t ，有0=t EY 。
进一步假设序列M j j 1}{=α和Mj j 1}{=δ是序列不相关和相互不相关的：⎪⎩⎪⎨⎧≠==k j k j E j k j ,0,)(2σαα，⎪⎩⎪⎨⎧≠==kj k j E j k j ,0,)(2σδδ0)(=k j E δα，对所有的j 和k这时t Y 的方差是：[][]∑∑∑====+=+=Mj jMj Mj j j j j j j j t t t t E t E Y E 121122222222)(sin )(cos )(sin )()(cos )()(σωωσωδωα因此，对这个过程来说，具有频率j ω的周期成分对t Y 的方差的贡献部分是2j σ。
如果频率是有顺序的：πωωω<<<<<M 210，则t Y 的方差中由频率小于或者等于j ω的周期形成的部分是：22221j σσσ+++ 。
这种情形下t Y 的k 阶自协方差为：∑∑∑===-=-+-=-+-=Mj j j M j j j j j j Mj j j j j j j k t t k k t t k t t k t t E k t t E Y Y E 1212122)cos()]}(sin[)sin()](cos[){cos()]}(sin[)sin()()](cos[)cos()({)(ωσωωωωσωωδωωα因为过程}{t Y 的均值和自协方差函数都不是时间的函数，因此这个过程是协方差平稳过程。
但是，可以验证此时的自协方差序列∞=0}{k k γ不是绝对可加的。
虽然在上述过程中，我们已经过程的方差分解为频率低于某种程度的周期成分的贡献，我们能够这样做的原因在于这个过程是比较特殊的。
对于一般的情形，著名的谱表示定理(the spectral representation theorem)说明：任何协方差平稳过程都可以表示成为不同频率周期成分的和形式。
对任意给定的固定频率],0[πω∈，我们定义随机变量)(ωα和)(ωδ，并假设可以将一个具有绝对可加自协方差的协方差平稳过程表示为：⎰++=πωωωδωωαμ0)]sin()()cos()([d t t Y t这里需要对随机变量)(ωα和)(ωδ的相关性给出更为具体的假设，但是上述公式便是谱表示定理的一般形式。
§6.2 样本周期图 Sample Periodogram对一个具有绝对可加自协方差的协方差平稳过程}{t Y ，我们已经定义在频率ω处的谱函数值为：∑+∞-∞=--==j j i j i Y Y e e g s ωωγππω21)(21)(，)])([(μμγ--≡-j t t j Y Y E注意到母体谱是利用+∞=0}{j j γ表示的，而+∞=0}{j j γ表示的是母体的二阶矩性质。