• （一）c、h、G、e分别为狭义相对论（时空关 系）、量子论（量子力学）、万有引力作用和电 磁作用的特征量； • （二）me、mp 粒子静止质量 • （三）NA和kB是表征粒子热运动的特征量， • NA用于宏观单位与微观单位的换算， 如原子质量单位u的NA倍=uNA～10-3 kg/mol； • kB=R(摩尔气体恒量)/NA =8.31 J mol-1 K-1/(6.02×1023 mol-1) =1.38 J K-1, 则用于温度与能量的换算。
例题2: 常量的量綱分析
定义真空中的光速c、萬有引力常量G、普朗克常量h和 玻耳茲曼常量kB等为基本常量，求它们的量綱：
• l=ct, [c]= LT-1， F=GMm/r2, [G]=[F][r]2[m]-2 =MLT-2L2M-2=M-1L3T-2, • E=hν, [h]=[E][ν] -1= ML2T-2 T= ML2T-1 • E=kBT , [kB]=[E][θ]-1= ML2T-2Θ-1 • 还有4个常用的基本常量：e、me、mp和NA， 总共8个常见基本量，可分为三类。
• 其中包含一個尚未確定的係數b，它在量綱式中 指數為0[稱為“量綱1”]，其大小不能用這種方法 確定，在只需瞭解結果的數量級時，可不必寫出。 • 由于，[h]=L, [g]= LT-2, [t]=T, 唯一满足的構造 或组合為{L/(LT-2)}1/2=T, 即 [t]={ [h] / [g] }1/2。 • 因此，可得t= (h / g)1/2。 • 這種推導物理量關係的方法叫做量綱分析 量綱分析。 量綱分析
例题1：利用量纲分析ห้องสมุดไป่ตู้出勾股定理
• 直角三角形的面积A决定于斜边c和一个锐 角α的函数，该函数量纲为1。 • A=c2 f(α) 从直角顶向斜边作垂线，则分 得的两个小直角三角形与原来的相似，即 • A1+A2=A， 其中 A1=a2 f(α)， A2= b2 f(α)。 • a2 f(α)+b2 f(α) =c2 f(α) ， 从而导 出 a2 +b2 =c2 。
• 在物理學中，無論何時只要等式成立，方 程兩邊最終就應該具有相同的量綱。 • 你不可能遇到方程右邊代表長度而左邊代 表時間間隔的情形。利用這一事實，有時 不用具體求解問題就可以大致推導出物理 關係式。 • 例如，我們要求一個物體在恒定的重力加 速度g的影響下從高度h下落所需的時間。 我們可以論證，要利用g和h構造一個表示 時間間隔的量，唯一可行的方法就是 t=b(h / g)1/2。
习题1: 求斯特藩-玻耳兹曼常量σ的量纲
• 由斯特藩-玻耳兹曼定律： 辐出度=光度（功率）/表面积=σT4， 得 [E] [t]-1 [l]-2=[σ][θ]4 • [σ]=[E] [t]-1 [ ]-2 [θ]-4 [l] = ML2T-2T-1L-2Θ-4=MT-3Θ-4
习题2: 把斯特藩-玻耳兹曼常量σ 表示为各基本常量（h、c、G、kB）幂次的积。
量 綱 分 析
利用量綱分析 計算黑洞與微波背景輻射的熱平衡
• • • • 量纲和量纲分析： 量纲 黑洞物理： 霍金輻射： 黑洞和宇宙背景輻射
一、量纲 量纲和量纲分析 量纲 (dimension analysis)
• 在所有的物理量Q中，只有七個量（質量M、長 度L、時間T、電流I、溫度Θ[θ]、物質的量Ν[ν]和 光強J）是基本的，其他的都是導出量。 • 配合指數α、β、γ、δ、ε、ζ、η，所有的導出量 都可以寫作基本量冪次的乘積 基本量冪次的乘積[Q]=Mα Lβ Tγ Θδ Iε 基本量冪次的乘積 Nζ Jη，这就叫做导出量的量纲 叫做导出量的量纲 叫做导出量的量纲，常用的形式是 • [Q]= Mα Lβ Tγ Θδ 。 • 例如，速度的量綱[υ]= LT-1，加速度的量綱 [a]=LT-2，力的量綱[F]=MLT-2，能的量綱[E]= ML2T-2，热容量的量纲[Cv]= ML2T-2Θ-1。