4、动力系统

1927年伯克霍夫(美, 1884-1944)出版《动力系统》
20世纪30年代后的发展: 结构稳定性、拓扑学方法、 代数几何方法

伯克霍夫 (1884-1944)
2013-9-10
庞特里亚金 (1908-1988)
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斯梅尔 (1930)
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4、动力系统 ——浑沌

第十讲: 20世纪数学概观 II

2013-9-10
哥德尔不完全性定理 四色问题 比勃巴赫猜想 动力系统 鲁金猜想 庞加莱猜想 数论
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1、哥德尔不完全性定理
哥德尔时代
完全性定理: 1929年证明了一阶谓词演算 的完全性 不完全性定理: 1930年证明了如果一个包 括初等数论的形式系统是无矛盾的，那就 是不完全的; 如果初等算术系统是无矛盾 的，则无矛盾性在算术系统内不可证明 相容性定理: 1938年证明了选择公理、连 续统假设的相容性
陈景润
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7、数论——费尔马大定理
费尔马(法, 1601-1665)的最后定理：当n≥3时, 方程xn+yn=zn
没有非零整数解 1770年欧拉(瑞, 1707-1783)证明了n=3的情形

1823年勒让德(法, 1752-1833)证明了n=5的情形 1980年前对个别情形进行证明

梅森
2013-9-10
美国电子新领域基金会设立了10万美元的奖金, 鼓励第一个找到超过千万位素数的人; 25万美元 奖第一个找到超过十亿位素数的人.

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7、数论——素数判定
在“手算笔录年代”仅找到12个梅森素数, 近10年来通过GIMPS项 目找到了8个(35至42个)梅森素数.
若n是自然数 则存在线段中的点 0 , 使得 f n(x0 ) x0 . , x
沙克夫斯基
2013-9-10
谢尔宾斯基地毯
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4、动力系统 ——分形
芒德布罗 (法, 1924- )
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4、动力系统——分形
柯克曲线
柯克(瑞, 1870-1924)
瑞尼
王元
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潘承洞
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7、数论——哥德巴赫猜想
1965年罗斯(英, 1925- , F)、邦别里(意, 1940-, F) 证明了1＋3

1966年陈景润(中, 1933-1996)宣布了1＋2, 并于 1973年发表了全部证明

罗斯
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邦别里
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1975年李天岩(1945-)-约克定理:周期3蕴涵浑沌.
1964年沙克夫斯基(乌, 1936- )定理: 线段上的连续自映射f 若有3周 期点, 则f 有任意周期点.
x0是f的3周期点: f 3(x0 ) x0 , 即f(x0 ) x1, f(x1 ) x2 , f(x2 ) x0 .
1909年威费利希证明g(3)=9 1964年陈景润(中, 1933-1996) 证明g(5)=37

陈景润

1986年巴拉苏不拉马连证明g(4)=19
华林
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7、数论 ——哥德巴赫猜想
哥德巴赫(德, 1690-1764)猜想: (1) 每个大于4的
偶数是两个奇素数之和; (2) 每个大于7的奇数是三个 奇素数之和. 从(1)可以推出(2)成立.
7、数论——哥德巴赫猜想
• 关于两素数之和
1919年布龙(挪, 1885-1978)证明了9+9 1940年布赫塔布(苏)证明了4+4

1948年瑞尼(匈, 1921-1970)证明了1＋c 1957年王元(中, 1930- )证明了2＋3 1962年王元和潘承洞(中, 1934-1997)证明了1＋4
费尔马
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勒让德
库默尔
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7、数论——费尔马大定理
1983年法尔廷斯(德, 1954- , F)证明了莫代尔(英, 1888-1972)猜想 (1922): 方程xn+yn=1至多有有限个有理数解

皮卡
朱利亚(法, 1893-1978)方向(1919): 超越 整函数至少存在一个方向(朱利亚方向), 在 此方向的角域内毕卡定理成立.

朱利亚
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3、复变函数论——值分布论
奈望林纳(芬, 1895-1980)理论(1925): 超越亚纯函数其亏值至 多是可数的, 相应的亏量总和不超过2

2003年11月发现第40个梅森素数M 20996011, 有6320430位数. 2004年6月发现第41个梅森素数M24036583, 有700万位数.
德国眼科专家、数学爱好者马丁•诺瓦克利用24台个人计算机, 不 间断运行梅森素数计算程序50天, 2005年2月18日得到至今最大的、 第42个梅森素数M25964951, 有7816230位数. 据报道, 中国数学家及语言学家周海中经过多年的研究,于1992 年首次给出了梅森素数分布的精确表达式, 为人们寻找梅森素数提 供了方便. 这一成果被国际数学界命名为“周氏猜测”.
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4、动力系统——分形
M集
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5、鲁金猜想
傅里叶(法, 1768-1830)《热的解析理论》(1822) 19世纪狄里克雷(德, 1805-1859)、黎曼(德, 1826-1866)、康托(德, 1845-1918)等数学家研究了傅里叶级数的收敛性等问题 傅里叶级数的和: 1876年杜•布瓦•瑞芒(德, 1831-1889)表明存在 连续函数的傅里叶级数, 它在许多点上发散 1904年费耶尔(匈, 1880-1959)指出在齐撒罗求和意义下每一连续 函数f的傅里叶级数逐点收敛于f
弗 里 德 曼
n=2
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n=1
斯梅尔 庞加莱
宁德师范高等专科学校
唐 纳 森
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7、数论 ——回顾






古希腊：毕达哥拉斯(公元前560-前480)、欧几里得(公 元前325-前265年)、丢番图(公元200-284年) 17世纪：费尔马(法, 1601－1665) 18世纪：欧拉(瑞, 1701-1783) 、拉格朗日(法, 17361813) 19世纪代数数论：高斯(德, 1777-1855) 、库默尔(德, 1810-1893)、戴德金(德, 1831-1916) 19世纪解析数论：狄里克雷(德, 1805-1859)、黎曼(德, 1826-1866)、阿达玛(法, 1865-1963) 20世纪问题: 素数判定、华林问题(1770)、哥德巴赫猜 想(1742)、费尔马大定理(1670)、黎曼假设(1859)

傅里叶
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杜•布瓦•瑞芒
费耶尔
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5、鲁金猜想
1913年鲁金(俄-苏, 1883-1950)猜想: L2 可积函数的傅里叶级数几乎处处收敛于f

1923年柯尔莫哥洛夫(俄-苏, 1903-1987) 定理: L1可积函数的傅里叶级数可以处处发 散(W) 1966年卡尔松(瑞典, 1928- )肯定回答 鲁金猜想(WA)
哥德尔(奥-美, 1906-1978)
数理逻辑: 公理集合论、证明论、递归论 及模型论 亚里士多德(希, 前384－前322)和莱布尼 茨(德, 1646-1716)以来最伟大的逻辑学家
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1、哥德尔不完全性定理
1963年证明了连续统假设的独立性定理 1966年获得菲尔兹奖
1890年希伍德(英, 1861-1955)指出了肯泊的错误, 证明了“五色定理”.
1976年哈肯和阿佩尔最终解决了四色问题.
肯 泊
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希 伍 德
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3、复变函数论 ——值分布论
各种类型的复变函数的取值范围的研究课题
皮卡(法, 1856-1941)定理(1879): 非退化的整函数至 多只有一个有穷值它取不到, 并且如果有两个值它只能 取到有穷次的话, 那么它只能是一个多项式, 否则除去 一个例外值, 它应无穷次取到每一个值; 对于非退化的 亚纯函数而言, 最多只能有两个值取不到.
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2、四色问题
19世纪英国一些著名数学家进行研究并引起人们的关注: 德•摩根(18061871), 哈密顿(1805-1865), 凯莱(1821-1895)等. 1878年凯莱发表《论地图的着色》. 1879年肯泊(英, 1849-1922)宣布证明了“四色问题”.

1935年阿尔福斯(芬-美, 1907-1996)的覆盖面理论(FW)
1978年杨乐(中, 1939- )-张广厚(中, 1937-1987): 无穷级亚纯函 数值分布的研究
奈望林纳
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阿尔福斯
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杨乐
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3、复变函数论 ——比勃巴赫猜想

1916年比勃巴赫(德, 1886－1982)猜想: 单位 的单叶解析函数应 , 并证明了
科恩(美, 1934- )
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2、四色问题
图论: 以图为研究对象的数学分支. 图是若干给定点及连接两点的 线所构成的图形.