第四章倒易点阵及晶体衍射方向1. 布拉格定律一定波长的X 射线或入射电子与晶体试样相互作用 , 可以用布拉格定律来表征产生衍射的条件。

图 4.1 布拉格定律的几何说明如图4.1, 设平行电子束σ0入射到晶体中面间距为d hkl的晶体面网组(hkl), 在人射波前SS' 处, 两电子波位相相同, 如果左边一支波经历波程PA+AD = nλ，n 为包括零的整数, 则两支波离开晶体后达到新波前TT' 时, 将具有相同的位相, 相干结果可以达到衍射极大; 反之, 若PA+AD ≠nλ, 则达到TT' 时, 它们位相不同, 不能相干得到衍射极大。

由图4.1 可知，PA+AD =2d hkl sinθ=nλ(4.1)此即布拉格方程,n称为衍射级数。

式(4.1)也可以写成:λθ=⎪⎭⎫⎝⎛sin 2nd hkl (4.1a) 因为 d hkl /n=d nh, nk, hl ，故可把n 级 (hkl) 反射看成是与 (hkl) 平行 但面网间距缩小 n 倍的、 (nh, nk, nl) 的一级反射。

这样 , 布拉格方程可以写成一般形式 :λθ=sin 2hkl d (4.1a) 还可以写成下述形式：λθ/2/1sin hkld =(4.1b) 只要满足布拉格方程 , 就获得了产生衍射极大的条件。

式 (4.1a) 中 d hkl 为晶体中晶面组 (hkl) 的晶面间距；λ为入射电子束的波长；θ为人射电子束方向相对于晶面 (hkl) 的掠射角。

2. 倒易点阵2.1 倒易点阵定义 （1）倒易点阵：若已知晶体点阵的单位矢量 a 、b 、c, 可以定义倒易点阵的单位矢量a *、b *、c *，该点阵的方向矢量垂直于同名指数的晶体平面, 它的大小等于同名指数晶面间距的倒数,该点阵称为倒易点阵。

（2）正点阵与倒易点阵和基矢量的相互关系：图4.2 正点阵与倒易点阵和基矢量的相互关系取一晶体单胞 , 如图 4.2, 晶体点阵的单位矢量为 a 、b 和 c , 相应点阵的 6 个参数是a 、 b 、 c 、α、β和 γ。

其晶体点阵的倒易点阵所具有的 3 个单位倒易矢量为a *、b *、c *。

相应的倒易点阵的 6 个参数是a *、b *、c *、α*、β*和γ*。

根据倒易点阵的定义可求出a *。

其表达示为：100100100**/1/1h d R a ===式中的 h 100 为晶体平行六面体单胞中垂直于 (100) 面的高 OA 。

设 OA 与 a 的夹角为α。

则以下两个同名基矢的标量积应有如下结果: （a ） 正点阵与倒易点阵的同名基矢的点乘积等于 11/cos 1001000==⋅=⋅**h h a a a a α1=⋅=⋅=⋅***c c b b a a （4.2）倒易基矢长度为:[]1)cos(-**∧⋅=a a a a[]1)cos(-**∧⋅=b b b b （4.3）[]1)cos(-**∧⋅=c c c c（b ） 正点阵与倒易点阵的异名基矢之间是相互垂直的, 即 a *⊥b ，a *⊥c 。

正点阵与倒易点阵的异名基矢的点乘积等于零。

a *∙b = a *∙c = b *∙a = b *∙c = c *∙a = c *∙b = 0 (4.4)（c ）定义晶体正点阵的单位基矢 (a 、 b 和 c) 与倒易点阵的单位基矢 (a *、b *和 C * ) 之间有如下关系:V c b a ⨯=****⨯=Vc b a V a c b ⨯=*（4.5） ***⨯=Va cb （4.6） V b ac ⨯=****⨯=Vb ac 其中 V 和V *分别是正点阵和倒易点阵单胞的体积。

倒易基矢 a *在正 点阵单胞基矢 b 、c 构成的平面法线方向, 它的长度等于这个平面族的面间距的倒数。

同理，b *与 c 、a 构成的平面正交，c *与 a 、b 构成的平面正交, 它们的长度也分别等于这两个平面族的面间距的倒数。

正倒点阵单胞的体积 V 和 V *分别等于 a 、 b 、 c 和 a *、b *、c *的三重标量积。

b ac a c b c b a V ⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅= (4.7)b ac a c b c b a V ⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅=****** (4.8) 由倒易基矢a *、b *、C *组成的倒易矢量是****++=lc kb ha r hkl （4.9）它的端点是 hkl 倒易阵点。

如 h 、k 、l 取遍所有整数值 , 即构成一个无穷尽的倒易点阵 , 正如在正空间中 wc vb ua r uvw ++=的端点处的阵点构 成的一个正点阵一样。

正点阵与倒易点阵有完全对应的倒易关系。

(3) 正点阵与倒易点阵基矢之间的定量关系假设它们基矢的列矩阵间存在矩阵因子[M], 其关系式表示如下:[]⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡***c b a M c b a (4.10)等式两边分别右乘以正点阵的行矩阵 [a b c], 则有 [][][][]⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡************c c b c a c c b b b a b c a b a a a M c b a c b a M c b a c b a上述等式右方最后一个矩阵为单元矩阵，可求出[M]并表示如下：[][]⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=222cos cos cos cos cos cos c cb ca bc b ba ac ab a c c b c a c c b b b a b c a b a a a c b a c b a M αβαλβγ（4.11）式中α、β、γ分别是晶体基轴b 与c ，c 与a 和a 与b 之间的夹角。

将等式（4.10）两边同时左点乘以[M]的逆矩阵[M]-1，得到以下结果：[]⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋅***-c b a c b a M 1等式两边同时右点乘以倒易点阵基矢的行矩阵[]***c b a ，有[]⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=******************-c c b c ac c b b b a b c a b a a a M 1 （4.12） 进一步解得：[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-2222221sin cos cos cos cos cos cos cos cos cos sin cos cos cos cos cos cos cos cos cos sin 1c cbca bc b abacab a A M γββγβγαβγββλβαβγαγβαα（4.13）式中γβαγβαCOS COS COS COS COS COS A 21222+---=。

表4.1 不同晶系的坐标变换矩阵[M]及[M]-12.2倒易关系从式 (4.2) 和式 (4.4) 可以看出, 正点阵单胞的基矢与倒易点阵单胞 的基矢是完全对称的, 两者互为倒易关系。

倒易点阵在晶体几何方面的重要意义就在于它与正点阵间存在有一系列的倒易关系。

分别从a 、b 和 c 与****++=lc kb ha r hkl的标量积得出:1/=⋅*h a r ， 1/=⋅*k b r ， 1/=⋅*l c r （4.14）它们是正点阵矢量r 与倒易点阵矢量r *的标量积:n r r =⋅* (n 为任意整数 )的几个特例, 0=⋅*r r 表示 r 在r *上的投影为零。

所有与r *正交的正 点阵矢量 r 都满足这一关系, 并都坐落在一个通过原点且与 r * 正交的平面上。

根据倒易点阵矢量****++=lc kb ha rhkl的定义 ,h 、k 、l 均为整 数, 因此,(hkl) 点阵平面的指数也必定是整数。

可将正点阵与倒易点阵之间的关系归纳如下 :(1) 正点阵与倒易点阵互为倒易, 即正点阵的倒易是倒易点阵。

倒易点阵的倒易是正点阵, 这一点可以通过式 (4.5)、式 (4.6)、式 (4.7) 和式 (4.8) 反映出来。

(2)倒易点阵中的方向[hkl]*与正点阵中同名指数（hkl ）正交（图4.3），倒易原点到倒易点的距离hkl hkld r/1=*。

同样，正点阵中的晶向[υϖω]与倒易点阵中同名支书倒易平面（υϖω）*正交，正点阵原点到υϖω阵点的距离uvwuvw dr *=/1，uvwd*是倒易面（υϖω）*的面间距，如图4.4所示。

图4.3 点阵平面（hkl ）与倒易点 图4.4 点阵平面（uvw ）*与点阵阵方向[hkl]*正交，且hkl hkl d r /1*= 方向[uvw]正交，且*/1uvwuvwl d r =表4.2 正空间和倒空间的相互关系注意 , 只有在立方晶系情况下 , 正点阵中的晶向[υϖω]才与正点阵中同名指数晶面 (υϖω) 正交, 而其他晶系则不一定有这种正交关系 ( 见表 4.2)。

(3) 常见的七个晶系空间倒易关系见表 4.2 。

如图 4.5 中以面心、体 心立方为例, 示意说明两者互为倒易情况。

图中,(a)为正空间的面心立方, 其相应的倒空间为体心立方(b)；(c) 为正空间的体心立方, 其相应的倒空间为面心立方(d)；（a ）、(c) 上圆点代表原子；(b)、(d)上的圆点是倒空间的倒易点, 从坐标原点到这些点的向量称为倒易矢量, 它代表正空间一族晶面。

(4) 正点阵与倒易点阵的单胞体积互为倒易关系。

由式 (4.4)、(4.5)、(4.6)、(4.7)、(4.8)和（4.11）不难得到如下结果：V 2 = ∣M ∣ VV * =1由此得 V * = 1/V =∣M ∣½图4.5 面心立方、体心立方正空间与倒空间的相互关系3. 正点阵与倒易点阵的指数变换3.1 晶带及晶带定律晶体中的许多晶面族(η κ λ) 同时与一个晶向[υ ϖ ω] 平行时( 见图 4.6), 这些晶面族总称为一个晶带, 这个晶向称为晶带轴。

常常用晶带轴代表整个品带, 如[υ ϖ ω] 晶带。

图4.6 晶带的示意图既然这些晶面族都平行于晶带轴的方向 , 那么它们的倒易矢量**+**hakbr+=lc就构成一个与晶带轴方向+r+=vbwcua正交的二维倒易点阵平面 (υ ϖ ω)*。

易于证明 , 当 r 在 f 上的投影为零间 (0=⋅*r r ) 时 , 可得出晶带定律0=++lw kv hu （4.16）上式也可写成四轴形式0=+++lw it kv hu （4.17）它反映了正空间与倒空间一些 有特定关系的矢量与平面指数间的关系 :(1) 说明了相互垂直的正空间 矢量[υ ϖ ω]和倒空间矢量 [η κ λ]*之 间的指数关系或者理解为相互垂直的正空间平面 (η κ λ) 与倒空间平面 (υ ϖ ω)* 之间的指数关系。