第二节：倒易点阵与X射线衍射
1. 1895年伦琴发现X射线后，认为是一种波， 但无法证明。
2. 当时晶体学家对晶体构造（周期性）也没有 得到证明。
1912年劳厄将X射线用于CuSO4晶体衍射同时证明 了这两个问题,从此诞生了X射线晶体衍射学
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劳厄用X射线衍射同时证明了 这两个问题
1.人们对可见光的衍射现象有了确切的了解：光栅常数(a+b)只要与点光 源的光波波长为同一数量级，就可产生衍射，衍射花样取决于光栅形 状。
都有一个对应的倒易点阵，其基轴满足

ba

a
*
b*
1
Hale Waihona Puke c* 0
0 1
0 0
构成倒易点阵， c
0 0 1
rhkl*

ha*
kb*
lc*
又称波矢空间。 a ·a* = b ·b* = c ·c* =1，
a ·b* = a ·c* = b ·c* = 0，
1 d
/h
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倒易点阵性质
证明： （１）利用向量几何 的知识。
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倒易点阵的性质
rh*kl (hk l)
rh*kl 1 d hkl
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性质一证明



r同hk理l 可OA证BA：rrr(hhahhkkklall/hBAAkObBCCB
(仅当正交晶系）a 1 ，b 1，c 1
a
b
c
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倒易点阵
倒易点阵是傅立叶空间中的点阵，倒易点阵的 阵点告诉我们一个具有晶体点阵周期性的函数 傅立叶级数中的波矢在波矢空间的分布情况， 倒易点阵阵点分布决定于晶体点阵的周期性质， 一个给定的晶体点阵，其倒易点阵是一定的， 因此，一种晶体结构有两种类型的点阵与之对 应：晶体点阵是真实空间中的点阵，量纲为[L]； 倒易点阵是傅立叶空间中的点阵,量纲为[L-1]。
b* = r*010 = 1/d010 = 1/b
c* = r*001 = 1/d001 = 1/(c·cos[b-90])= 1/(c·sinb)
b* 180-b
101 r*001
r*100
b
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3、底心点阵
对于C底心型，指数h, k和为偶 数的晶面才出现；
r*110
b a
d110
a* = r*200 = 1/d200 = 2/a b* = r*020 = 1/d020 = 2/b c* = r*001 = 1/d001 = 1/c
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(一）定义倒易点阵
定义（一）倒易点阵的初基矢量垂直于正点阵异名 矢量构成的平面
a bc V
b c a V
c a b V
所以有: c c a a b b 1
a b a c b a b c c a c b 0
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（二）、倒易点阵与正点阵的关系 220
1、简单点阵
r*110 b
a
010
110
r*110 b*
000 a* 100
d110
注意：具有公因子指数的简单型
正点阵的倒易阵点，如（220）
等，不对应于真正的晶面。
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2、简单单斜点阵
r*001 c
r*100 a
b
a* = r*100 = 1/d100 = 1/(a·cos[b-90])= 1/(a·sinb)
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（四）倒易点阵性质
根据定义在倒易点阵中,从倒易原点到任一倒易点的矢
量称倒易矢量ghkl g* hkl = ha kb lc
可以证明:
1. g*矢量的长度等于其对应晶面间距的倒数 g* hkl =1/dhkl ，其方向与晶面相垂直即 g* //N(晶面法线
)
２.倒点阵矢量与正点阵矢量的点积比为整数
2.晶体学家和矿物学家对晶体的认识：晶体是由原子或分子为单位的共 振体（偶极子）呈周期排列的空间点阵，各共振体的间距大约是10-810-7cm，M.A.Bravais已计算出14种点阵类型。
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研究X射线衍射可归结为两方 面的问题：
衍射方向和衍射强度。 衍射方向问题是依靠布拉格方程（或倒易点阵）的理论导出的； 衍射强度主要介绍多晶体衍射线条的强度，将从一个电子的衍射强度
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倒易点阵的本质
如果把晶体点阵本身理解为周期函数，则倒 易点阵就是晶体点阵的傅立叶变换，所以倒 易点阵也是晶体结构周期性的数学抽象，只 是在不同空间(波矢空间)来反映,其所以要变 换到波矢空间是由于研究周期性结构中波动 过程的需要。
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定义（二）：对于一a 个b 由c
定义的正点阵，
b/k
lc

)
OC

c/

l
(b / k - a / h) 1-1 0
c
C
b
B
r (hk l)
* hkl
O
a
A
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设：OM垂直于ABC面，
n
c
n
OM方向上的单位矢量为
C
b
OM dhkl
M
B
n

rhkl
dhkl OA
rh*kl
/ rhkl
n a
研究起，接着研究一个原子的、一个晶胞的以至整个晶体的衍射强度 ，最后引入一些几何与物理上的修正因数，从而得出多晶体衍射线条 的积分强度。
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倒易点阵
晶体中的原子在三维空 间周期性排列，这种点 阵称为正点阵或真点阵 。
以长度倒数为量纲与正 点阵按一定法则对应的 虚拟点阵------称倒易 点阵
020 b*
110 r*110
000
a* 200
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4、立方点阵的倒易点阵
简立方 面心立方 体心立方
a=
a


y

z-

x

2

, b=
a


z

x-

y

2

c=,
a


x

y-

z

2

a=
a


y

z

2
, b=
a


z

x

2
c=,
a


x

y

2
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（三）正、倒点阵参数之 间的关系
正点阵与倒点阵二者互为倒易的。 点阵参数之间的关系式 书中P１４公式（１－２６）至（１－３１） 晶面间距和晶面夹角
晶面间距和晶面夹角公式的推导是根据向量几何的知识，在根据晶体学 的知识，很容易的推出。这里必须强调的是，这些公式（P17表１－３ ）不要求大家记住，但是一定会推导出。