现代信号处理作业
实验题目：
设信号)()8.0cos(25.0)47.0cos()35.0cos()(321n v n n n n x ++++++=θπθπθπ，其中321,,θθθ是[]ππ,-内的独立随机变量，v(n)是单位高斯白噪声。
1.利用周期图法对序列进行功率谱估计。
数据窗采用汉明窗。
2.利用BT 法对序列进行功率谱估计，自相关函数的最大相关长度为M=64,128,256,512采用BARTLETT 窗。
3.利用Welch 法对序列进行功率谱估计，50%重叠，采用汉明窗，L=256,128,64。
4.利用Burg 法对序列进行AR 模型功率谱估计，阶数分别为10，13.
要求每个实验都取1024个点，fft 作为谱估计，取50个样本序列的算术平均，画出平均的功率谱图。
实验原理：
1）。
周期图法：
又称间接法，它把随机信号的N 个观察值x N (n)直接进行傅里叶变换，得到X N (e jw ),然后取其幅值的平方，再除以N ，作为对x （n ）真实功率谱的估计。
2^
)(1)(jw e X N
w P N per =
， 其中∑-=-=1
)()(N n jwn N jw
N e n x e X 2）。
BT 法：
对于N 个观察值x(0),x(1),。
,x(N-1),令x N (n)=a(n)x(n)。
计算r x （m ）为
∑--=-≤+=
m
N n N N
x N m m n x n x
N m r 10
1),()(1
)(,计算其傅里叶变换
∑-=--≤=
M
M
m jwm x
BT N M e m r
m v w P 1 ,)()()(^
^
，作为观察值的功率谱的估计。
其中v(m)是平滑窗。
3)。
Welch 法：
假定观察数据是x(n),n=0,1,2...,N-1，现将其分段，每段长度为M,段与段之间的重叠为M-K,第i 个数据段经加窗后可表示为 1,...,1,0 )()()(-=+=M i iK n x n a n x i M
其中K 为一整数，L 为分段数，该数据段的周期图为
2)(1)(^w X MU w P i M i
per =，其中∑-=-=1
0)()(M n j w n i
M i M e n x w X 。
由此得到平均周期图为
∑-==10
^_
)(1)(L i i
per w P L w P 。
其中归一化U 取∑-==
10
2
)(1M n n a
M U 。
4）。
Burg 法：
在约束条件下，使得)(2
1^^^
b
f ρρρ+=极小化，其中，约束条件是它所得到的
各阶模型解要求满足Levison 递归关系。
仿真结果：
1.周期图法
2.1）BT 法，平滑窗采用BARTLETT窗，长度为64；
2.3）BT 法，平滑窗采用BARTLETT窗，长度为256；
3.1 L=256
3.2 L=128
3.1 L=64
4.1。
Burg 法，阶数为10；
4.1。
Burg 法，阶数为13；
仿真分析：
1. 周期图法得到的功率谱，特点是离散性大，曲线粗糙，方差较大，但是分辨率较高；
2. 从图中可以看出间接法估计的偏差大于周期图法。
这是因为BT 法在)(^
m r x 上施加了一个较短的平滑窗v(m)。
但是BT 法得到的功率谱的方差，从图中可以看出，要小于周期图法得到的方差，所以
其分辨率要比周期图法差。
从理论上，BT 法和周期图法的方差之比为∑-==
ΛM
M
n n v
N
)(1
2
，一般
来说，v(m)是以m=0对称递减的，又M<<N,所以Λ<1。
验证了实验所得。
BT 法中对于延迟窗取不同的长度，从图中可以看出，长度越长，方差越大，分辨率越高。
因为BT 法的方差和∑-=M
M
n n v
)(2
成正比关系，当
长度越长时，
∑-=M
M
n n v
)(2
越大，所以得到的功率谱的方差越大。
（BT 法中要求平滑窗的长度为2M+1，即为奇数，关于m=0处对称。
本实验中，给出的平滑窗为偶数，与自相关函数关于m=0对称，且r （0）最大这一特性是否十分吻合，值得商榷）。
3. Welch 法是将N 点观察值分为L 个数据段，用以改善功率谱图的方差特性。
从图中看出，对比周期图法，Welch 法作出的功率谱图的方差特性的确得到大大的改善。
但是在给每段序列用适当的窗口函数加权后，在得到平滑的估计结果同时，使得功率谱额主瓣变宽，因此分辨率有所下降。
从图中可以看出，Welch 法中，随着分的段数增加，得到的功率谱的方差变得更好，这是因为Welch 法中方差与分的段数大约成反比关系。
而分辨率则随着段数增加而下降。
4. burg 法从图中可以看出，随着阶数的增高，分辨率提升。
本实验中，由于阶数比较小，得到的功率谱图并不理想。
现代谱估计的一些隐含着数据和自相关函数的外推, 使其可能的长度超过给定的
长度, 不象经典谱估计那样受窗函数的影响。
因而现代谱的分别率比较高, 而且现代谱线要平滑得多。