九年级数学试卷注意事项：1．本试卷共6页．全卷满分120分，考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．2．请认真核对监考教师在答题卡所粘贴条形码上的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0．5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．4．作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共有6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，恰 有一项是符合题目要求的，请将正确选择项前的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1．（2018•鼓楼2，1，2分）计算18＋12÷(－6)的结果是A ． －5B ．5C ．16D ．20 1.C2．（2018•鼓楼2，2，2分）计算(－a 2)3的结果是A ．a 5B ．a 6C ．－a 5D ． －a 6 2.D 3．（2018•鼓楼2，3，2分）面积为15 m 2的正方形，它的边长介于A ．2 m 与3 m 之间B ．3 m 与4 m 之间C ．4 m 与5 m 之间D ．5 m 与6 m 之间3. B4. 4．（2018•鼓楼2，4，2分）一个几何体的三个视图如图所示，这个几何体是A ．圆柱B ．球C ．圆锥D ．正方体 4.A5．（2018•鼓楼2，5，2分）如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ，BE 、CD 相交于点O ，若△DOE 的面积与△COB 的面积的比为4：25，则AD ：AB 等于 A ．2:3 B ． 3:2 C ．2:5 D ．4:25（第4题）5. C6．（2018•鼓楼2，6，2分）在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，x 与y 的部分对应值如下表所示：则下列说法： ①图像开口向下；②图像的顶点坐标为(1，3)；③当x ＝4时，y 的值为－3；④－1是方程ax 2＋bx ＋c ＋3＝0的一个根．其中正确的个数是A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个主视图 左视图俯视图二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接 填写在答题卡相应位置．．．．．．．上） 7．（2018•鼓楼2，7，2分）－2的绝对值是 ， 8的立方根是 ． 788．1.05×10 9．（2018•鼓楼2，9，2分）某射击小组进行射击比赛，甲选手10次射击成绩（单位：环）分别为9，7，10，6，9，8，9，6，7，10，这组数据的众数为____ _____环． 9．910．（2018•鼓楼2，10，2分）计算12×12－24的结果是 ．10．－ 611．（2018•鼓楼2，11，2分）不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －1≤2x ；5－x 2＞1.的解集是__ _____．11．－1≤x ＜312．（2018•鼓楼2，13，2分）已知x 1、x 2是关于x 的方程x 2＋3x ＋k ＝0的两个根，若x 1＝1，则x 2＝ ． 12．－4 13．（2018•鼓楼2，14，2分）如图，OC 是⊙O 的半径，AB 是弦，OC ⊥AB ，点P 在⊙O 上，∠APC ＝23°，则∠AOB ＝ °． 13．92° 14．（2018•鼓楼2，14，2分）如图，A 、B 两点的坐标分别为(5，0)、(1，3)，点C 是平面直角坐标系内一点．若以O 、A 、B 、C 四点为顶点的四边形是菱形，则点C 的坐标为 ．（第13题） （第14题）14．(－4，3)15．（2018•鼓楼2，15，2分）反比例函数y 1＝－3x 、y 2＝k x 的图像如图所示，点A 为y 1＝－3x的图像上任意一点，过点A 作x 轴的平行线交y 2＝kx的图像于点C ，交y 轴于点B ．点D 在x 轴的正半轴上，AD ∥OC，若四边形CODA 的面积为2，则k 的值为 ．y 1y2M C B A（第15题） （第16题）15．－5 16．（2018•鼓楼2，16，2分）如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝3，点M 是直线BC 上一动点，当∠CAM ＋∠CBA ＝45°时，BM 的长为_____ _ ．16．135 或175三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤）17．（2018•鼓楼2，17，7分）先化简，再求值：a 2－b 2ab ÷(1－b a)．其中a ＝2，b ＝－1．17．（本题7分）解：原式＝a 2－b 2ab ÷a －ba ……………………………………………………………… 1分＝(a －b )(a ＋b )ab ·aa －b …………………………………………………………3分＝a ＋bb．…………………………………………………………………………5分当a ＝2，b ＝－1时，原式＝－1． ………………………………………………………7分18．（2018•鼓楼2，18，6分）（1）解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝5，2x ＋y ＝7．18．（本题6分）解： (1)⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝5...①2x ＋y ＝7...②①＋② 得 x ＝4 ………………………………………………………………………2分 将x ＝4代入②得 x ＝－1……………………………………………………………………3分∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－1．………………………………………………………………4分（2）方程组⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋1)－b 3＝5，2(a ＋1)＋b 3＝7．的解是 ．（2）⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－1． ………………………………………………………………………………6分19．（2018•鼓楼2，19，8分）如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，E 、F 是AC 上两点，AE＝CF ，DF ∥BE ，DF ＝BE ．（1）求证：四边形ABCD 是平行四边形；（2）当AC 平分∠BAD 时，求证：AC ⊥BD ．（第19题）19．（8分）（1）（法一）证明：∵DF ∥BE ，OA BC D EF∴∠AFD ＝∠CEB ，……………………………………………………………1分 ∵AE ＝CF ，∴AE ＋EF ＝CF ＋EF．…………………………………………………………2分即AF ＝CE 在△ADF 和△CBE 中⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝CE∠AFD ＝∠CEB DF ＝BE ．∴△ADF ≌△CBE (SAS)．………………………………………………………3分∴AD ＝BC ，∠DAF ＝∠BCE ，∴AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．……………………………………………4分（法二）连接DE 、BF ．…………………………………………………………………1分∵DF ∥BE ，DF ＝BE∴四边形DEBF 是平行四边形．·…………………………………………………·2分∴OD ＝OB ，OE ＝OF ．…………………………………………………………3分 ∵AE ＝CF ，OE ＝OF ． ∴OA ＝OC ．∴四边形ABCD 是平行四边形．··……………………………………………·4分（2）证明：∵AC 平分∠BAD ，∴∠DAC ＝∠BAC ．· ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ∥AB ， ∴∠DCA ＝∠BAC ．∴∠DCA ＝∠DAC ，……………………………………………………………·5分 ∴AD ＝DC ，………………………………………………………………………6分 ∴□ABCD 为菱形．…………………………………………………………… 7分∴AC ⊥BD ．……………………………………………………………………… 8分 （其它方法参照给分） 20．（2018•鼓楼2，20，8分）为了弘扬中国传统文化，某校对全校学生进行了古诗词知识测试，将测试成绩分为一般、良好、优秀三个等级．从中随机抽取部分学生的测试成绩，绘制成如下两幅统计图，根据图中的信息，解答下列问题：（第20题）（1） 本次抽样调查的样本容量是 ，扇形统计图中阴影部分扇形的圆心角是 度； （2）将条形统计图补充完整； （3）根据本次抽样调查的结果，试估计该校2000名学生中测试成绩为良好和优秀的共有多 少人．良好测试成绩各等级人数条形统计图 等级 测试成绩各等级人数分布扇形统计图 180° 良好 20% 一般 优秀OA BC D E F O A BCD EF20．（本题8分）解：（1）150；108…………………………………………………………………………4分 （2）良好的人数是：75（人）条形统计图中：75，图形正确；………………………………………………………6分 （3）2000×（50%＋30%）…………………………………………………………………7分 ＝1600……………………………………………………………………………8分 (法二）（75+45）÷150×2000 ………………………………………………………7分 ＝1600…………………………………………………………………………8分 答：该校2000名学生测试成绩为良好和优秀的人数共有1600人． (或计算出良好、优秀人数各得1分，合计2分)21．（2018•鼓楼2，21，8分）甲、乙、丙、丁四个人做“击鼓传花”游戏，游戏规则是：第一次由甲将花随机传给乙、丙、丁三人中的某一人，以后的每一次传花都是由接到花的人随机传给其他三人中的某一人．(1)甲第一次传花时，恰好传给乙的概率是 ； (2)求经过两次传花后，花恰好回到甲手中的概率； (3)经过三次传花，花落在丙手上的概率记作P 1，落在丁手上的概率记作P 2，则P 1 P 2． （填“＞”、“＜”或者“＝”） 21．（本题8分）(1) 解：13 ……………………………………………………………………………………2分(2) 树状图如右：………………………………………………………4分 完成两次传花后，结果一共有9种，每种结果都是等可能的，其中花恰好回到甲手中有3种，故两次传花后，花恰好回到甲手中的概率为13． …………………………………7分(3)＝ ……………………………………………………………………………………8分 22．（2018•鼓楼2，22，7分）书店老板去图书批发市场购买某种图书．第一次用1200元购买若干本，按每本10元出售，很快售完．第二次购买时，每本书的进价比第一次提高了20%，他用1500元所购买的数量比第一次多10本．（1）求第一次购买的图书，每本进价多少元？（2）第二次购买的图书，按每本10元售出200本时，出现滞销，剩下的图书降价后全部售出．要使这两次销售的总利润不低于2100元，每本至多降价多少元？（利润＝销售收入－进价） 22．（本题7分）解：(1)设第一次购买图书时，每本书进价为x 元，由题意，得：1200x ＋100＝1500（1＋20%）x，………………………………………………2分丙乙甲甲乙丁丁丙甲所有结果第二次甲乙丙丁乙甲甲丙丁第一次丁丙乙甲开始D A BC45°64.5FGM D A B C45°64.5 FG M 解这个方程，得：x ＝5………………………………………………………………………3分 经检验，x ＝5是所列方程的解，且符合题意．……………………………………………4分 答：第一次购书该种图书时，每本书为5元． (2)设每本书降价y 元． 1200x ＝12005＝240，1500（1＋20%）x ＝12006＝250 由题意，得： 240×10＋200×10＋（250－200）×(10－y )－1200－1500≥2100，…………6分 解得：y ≤2答：每本书至多降价2元．……………………………………………………………………7分23．（2018•鼓楼2，2，8分）如图，高楼顶部有一信号发射塔(FM )，在矩形建筑物ABCD 的D 、C 两点测得该塔顶端F 的仰角分别为45°、64.5°，矩形建筑物高度DC 为22米．求该信号发射塔顶端到地面的距离FG ．（精确到1m ）（参考数据：sin64.5°≈0.90，cos64.5°≈0.43，tan64.5°≈2.1）（第23题）23．（本题8分）解：如图，延长AD 交FG 于点E ．………… ……………………………………………1分 在Rt △FDE 中，∠DEF ＝90°，tan45°＝FEDE ，∴DE ＝FE ．………………………………2分在Rt △FCG 中，∠FGC ＝90°，tan64.5°＝FG CG ，∴CG ＝FG2.1．……………………………4分∵DE ＝CG ，∴ FE ＝FG 2.1．∴FG －22＝FG2.1，………………………………………… …………………………6分解得FG ＝42(米）．…………………………………… ……………………………8分答：该信号发射塔顶端到地面的距离FG 为42米． 24．（2018•鼓楼2，24，8分）已知二次函数y ＝x 2－(m ＋2)x ＋2m －1．（1）求证：不论m 取何值，该函数图像与x 轴总有两个公共点； （2）若该函数的图像与y 轴交于点(0，3)， ①求图像与x 轴的交点坐标；②当0＜x ＜5时，y 的取值范围是 ．24．（本题8分）（1）证明：（1）∵b 2－4ac ＝(m ＋2)2－4×(2m －1)＝(m －2)2＋4＞0， ∴不论m 取何值，该函数图像与x 轴总有两个公共点…………………………………2分 （2）∵该函数的图像与y 轴交于点（0，3），∴把x ＝0，y ＝3代入表达式，解得：m ＝2， ………………………………………4分 ∴y ＝x 2－4x ＋3①令y ＝0，得x 2－4x ＋3＝0∴x 1＝1，x 2＝3………………………………………………………………………………5分 ∴图像与x 轴的交点为(1，0)，(3，0) ……………………………………………………6分 ②－1≤y ＜8；…………………………………………………………………………………8分 25．（2018•鼓楼2，25，8分）慢车和快车先后从甲地出发匀速驶向乙地，快车比慢车晚出发0.5小时，行驶一段时间后，快车途中休息，休息后继续按原速行驶，到达乙地后停止．慢车和快车离甲地的距离y (千米)与慢车出发时x （小时）之间的函数关系如图所示． （1）图中点F 表示的实际意义是： ；（2）慢车速度是 千米/小时，快车速度是 千米/小时； （3）①求慢车到达乙地比快车到达乙地晚了多少小时？ ②求快车途中休息了多长时间？（第25题）25．（本题8分）解： （1）点F 的实际意义是当慢车行驶3.5小时，快车追上慢车，这时它们离甲地距离为280千米．………………………………………………………………………………………2分 (2)80，120………………………………………………………………………………………4分 (3) ①设线段OA 对应的函数表达式为y ＝mx ． 将F （3.5，280）代入y ＝mx 中， 3.5m ＝280， ∴m ＝80∴线段OA 对应的函数表达式为y ＝80x ，…………………………………………………5分 令y ＝400，得x ＝55－4.5＝0.5……………………………………………………………………………………6分 ∴慢车到达乙地比快车到达乙地晚了0.5小时． ②设线段DE 对应的函数表达式为y ＝kx ＋b ． 将F （3.5，280）、E （4.5，400）代入y ＝kx ＋b 中， 得 ⎩⎨⎧3.5k ＋b ＝280，4.5k ＋b ＝400．解方程组，得 ⎩⎨⎧k ＝120，b ＝－140．∴线段DE 对应的函数表达式为y ＝120x －140．…………………………………………7分 令x ＝2，得y ＝100．快车的速度为（400－180)÷(4.5－2.5)＝120100÷120＝56（小时）y∴2－56－12＝23（小时）（或40分钟）∴快车途中休息了23小时（或40分钟）．…………………………………………………8分26．（2018•鼓楼2，26，9分）如图，以AB 边为直径的⊙O 分别交△ABC 的边BC 、AC 于点D 、E ，D 是BC 的中点， DF ⊥AC ，垂足为F ，CM 与⊙O 相切，切点为M ． （1）求证：DF 是⊙O 的切线；（2）连接DE ，求证：△DEF ∽△ABD ；（3）若∠MCA ＝∠BAC ，AB ＝10，求⌒AD 的长(结果保留π)．（第26题）26．（本题9分）（1）证明： 连接OD ， ∵AB 为⊙O 的直径∴∠ADB ＝∠AD C ＝90° ∴AD ⊥BC∵D 是BC 的中点， ∴AC ＝AB ，∴∠ACB ＝∠ABC∵OD ＝OB ， ∴∠ODB ＝∠ABC ， ∴∠ODB ＝∠ACB ， ∴OD ∥AC ，…………………………………………………………………………………1分 (或∵O 为AB 中点，D 为BC 中点 ∴OD ∥AC ，) ∴∠DFC ＝∠ODF ∵DF ⊥AC ，垂足为F ∴∠DFC ＝∠DF A ＝ 90°＝∠ODF ，∴OD ⊥DF ………………………………………………………………………………………2分∵点D 在⊙O 上∴DF 是⊙O 的切线；…………………………………………………………………………4分 （其它证法参照给分）(2)∵四边形ABDE 内接于⊙O ∴∠AED ＋∠ABD ＝180°∵∠AED ＋∠DEF ＝180° ∴∠DEF ＝∠ABD … ………………………………………………………………………5分 又∵∠DFE ＝∠ADB ＝90°…………………………………………………………………6分· D OA C E F M · DOA C E F M · DO A C E F MBMD A NK∴△DEF ∽△ABD …………………………………………………………………………7分 （3）作CG ⊥AB 于点G ，连接OM ， ∵⊙O 与CM 相切于点M ， ∴OM ⊥CM ，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC∴∠BAC ＝2∠BAD ＝2∠CAD ∵∠MCA ＝2∠BAD ∴∠BAC ＝∠MCA∴CM ∥AB ，∴CG ＝OM ＝OA ＝12AB ＝12AC ＝5，在Rt △ACG 中， ∵sin ∠BAC ＝CG AC ＝12 ∴∠BAC ＝30°，……………………………………………………………………………8分 ∵OD ∥AC ，∴∠AOD ＋∠BAC ＝180°， ∴∠AOD ＝150°，∴⌒AD 的长为150·π·5180＝25π6．……………………………………………………………9分27．（2018•鼓楼2，27，11分） 问题背景如图①，矩形ABCD 中，AB ＝43，AB ＜AD ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，折叠矩形ABCD 使点A 落在MN 上的点K 处，折痕为BP . 实践操作(1)用直尺和圆规在图①中的AD 边上作出点P （不写作法，保留作图痕迹）；基础应用(2)求∠BKM 的度数和MK 的长； （图①）思维探究(3)如图②，若点E 是直线MN 上的一个动点．连接EB ，在EB 左侧作等边三角形BEF ，连· D OA C E F MH GE Q M BC D A NKT E FMB CDA NKM B C D A NK接MF ．则MF 的最小值是 ；（图②）思维拓展（4）如图③，若点E 是射线KM 上的一个动点．将△BEK 沿BE 翻折，得△BET ，延长CB 至Q ，使BQ ＝KE ，连接TQ ．当△BTQ 是直角三角形时，KE 的长为多少？请直接写出答案．（图③） （第27题）27．（本题11分）(1)作∠ABK 的角平分线交AD 于P ，或连AK 作AK 的垂直平分线交AD 于P 或过点K 作2分3分 4分 6分 4分6分 ……………………………………………………………………………………………7分6，12，8……………………………………………………………………………11分九年级数学试卷参考答案及评分标准二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．2 ，2 8．1.05×10－5 9．9 10．－ 6 11．－1≤x ＜312．－4 13．92° 14．(－4，3) 15．－5 16．135 或175 三、解答题（本大题共11小题，共88分）17．（本题7分）解：原式＝a 2－b 2ab ÷a －b a……………………………………………………………… 1分 ＝(a －b )(a ＋b )ab ·a a －b…………………………………………………………3分 ＝a ＋b b．…………………………………………………………………………5分 当a ＝2，b ＝－1时，原式＝－1． ………………………………………………………7分18．（本题6分）解： (1)⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝5...①2x ＋y ＝7...②①＋② 得 x ＝4 ………………………………………………………………………2分 将x ＝4代入②得 x ＝－1……………………………………………………………………3分∴原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－1．………………………………………………………………4分 （2）⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－1． ………………………………………………………………………………6分 19．（8分）（1）（法一）证明：∵DF ∥BE ，∴∠AFD ＝∠CEB ，……………………………………………………………1分 ∵AE ＝CF ， ∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ．…………………………………………………………2分 即AF ＝CE 在△ADF 和△CBE 中 ⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝CE∠AFD ＝∠CEB DF ＝BE ． ∴△ADF ≌△CBE (SAS)．………………………………………………………3分O A BC D E F∴AD ＝BC ，∠DAF ＝∠BCE ，∴AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．……………………………………………4分（法二）连接DE 、BF ．…………………………………………………………………1分∵DF ∥BE ，DF ＝BE∴四边形DEBF 是平行四边形．·…………………………………………………·2分∴OD ＝OB ，OE ＝OF ．…………………………………………………………3分 ∵AE ＝CF ，OE ＝OF ．∴OA ＝OC ．∴四边形ABCD 是平行四边形．··……………………………………………·4分（2）证明：∵AC 平分∠BAD ，∴∠DAC ＝∠BAC ．· ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴CD ∥AB ， ∴∠DCA ＝∠BAC ．∴∠DCA ＝∠DAC，……………………………………………………………·5分 ∴AD ＝DC ，………………………………………………………………………6分∴□ABCD 为菱形．…………………………………………………………… 7分∴AC ⊥BD ．……………………………………………………………………… 8分 （其它方法参照给分）20．（本题8分）解：（1）150；108…………………………………………………………………………4分（2）良好的人数是：75（人）条形统计图中：75，图形正确；………………………………………………………6分（3）2000×（50%＋30%）…………………………………………………………………7分 ＝1600……………………………………………………………………………8分 (法二）（75+45）÷150×2000 ………………………………………………………7分 ＝1600…………………………………………………………………………8分 答：该校2000名学生测试成绩为良好和优秀的人数共有1600人．(或计算出良好、优秀人数各得1分，合计2分)21．（本题8分）(3) 解：13 ……………………………………………………………………………………2分 (4) 树状图如右：………………………………………………………4分 完成两次传花后，结果一共有9种，每种结果都是等可能的，其中花恰好回到甲手中有3种，故两次传花后，花恰好回到甲手中的概率为13． …………………………………7分 (3)＝ ……………………………………………………………………………………8分22．（本题7分）丙乙甲甲乙丁丁丙甲所有结果第二次甲乙丙丁乙甲甲丙丁第一次丁丙乙甲开始O A BC D E FD A B C45° 64.5 F G M 解：(1)设第一次购买图书时，每本书进价为x 元，由题意，得：1200x ＋100＝1500（1＋20%）x，………………………………………………2分 解这个方程，得：x ＝5………………………………………………………………………3分 经检验，x ＝5是所列方程的解，且符合题意．……………………………………………4分 答：第一次购书该种图书时，每本书为5元．(2)设每本书降价y 元．1200x ＝12005＝240，1500（1＋20%）x＝12006＝250 由题意，得： 240×10＋200×10＋（250－200）×(10－y )－1200－1500≥2100，…………6分 解得：y ≤2答：每本书至多降价2元．……………………………………………………………………7分23．（本题8分）解：如图，延长AD 交FG 于点E ．………… ……………………………………………1分 在Rt △FDE 中，∠DEF ＝90°，tan45°＝FE DE ，∴DE ＝FE ．………………………………2分 在Rt △FCG 中，∠FGC ＝90°，tan64.5°＝FG CG ，∴CG ＝FG 2.1．……………………………4分 ∵DE ＝CG ，∴ FE ＝FG 2.1． ∴FG －22＝FG 2.1，………………………………………… …………………………6分 解得FG ＝42(米）．…………………………………… ……………………………8分答：该信号发射塔顶端到地面的距离FG 为42米． 24．（本题8分）（1）证明：（1）∵b 2－4ac ＝(m ＋2)2－4×(2m －1)＝(m －2)2＋4＞0，∴不论m 取何值，该函数图像与x 轴总有两个公共点…………………………………2分（2）∵该函数的图像与y 轴交于点（0，3），∴把x ＝0，y ＝3代入表达式，解得：m ＝2， ………………………………………4分 ∴y ＝x 2－4x ＋3①令y ＝0，得x 2－4x ＋3＝0∴x 1＝1，x 2＝3………………………………………………………………………………5分 ∴图像与x 轴的交点为(1，0)，(3，0) ……………………………………………………6分 ②－1≤y ＜8；…………………………………………………………………………………8分25．（本题8分）解： （1）点F 的实际意义是当慢车行驶3.5小时，快车追上慢车，这时它们离甲地距离为280千米．………………………………………………………………………………………2分(2)80，120………………………………………………………………………………………4分(3) ①设线段OA 对应的函数表达式为y ＝mx ．将F （3.5，280）代入y ＝mx 中，3.5m ＝280，∴m ＝80∴线段OA 对应的函数表达式为y ＝80x ，…………………………………………………5分 令y ＝400，得x ＝55－4.5＝0.5……………………………………………………………………………………6分 ∴慢车到达乙地比快车到达乙地晚了0.5小时．②设线段DE 对应的函数表达式为y ＝kx ＋b ．将F （3.5，280）、E （4.5，400）代入y ＝kx ＋b 中，得 ⎩⎨⎧3.5k ＋b ＝280，4.5k ＋b ＝400．解方程组，得 ⎩⎨⎧k ＝120，b ＝－140．∴线段DE 对应的函数表达式为y ＝120x －140．…………………………………………7分令x ＝2，得y ＝100．快车的速度为（400－180)÷(4.5－2.5)＝120100÷120＝56（小时） ∴2－56－12＝23（小时）（或40分钟） ∴快车途中休息了23小时（或40分钟）．…………………………………………………8分26．（本题9分）（1）证明： 连接OD ，∵AB 为⊙O 的直径∴∠ADB ＝∠AD C ＝90°∴AD ⊥BC∵D 是BC 的中点，∴AC ＝AB ，∴∠ACB ＝∠ABC ∵OD ＝OB ， ∴∠ODB ＝∠ABC ， ∴∠ODB ＝∠ACB ， ∴OD ∥AC ，…………………………………………………………………………………1分 (或∵O 为AB 中点，D 为BC 中点 ∴OD ∥AC ，)∴∠DFC ＝∠ODF∵DF ⊥AC ，垂足为F∴∠DFC ＝∠DF A ＝ 90°＝∠ODF ，∴OD ⊥DF ………………………………………………………………………………………2分∵点D 在⊙O 上 ∴DF 是⊙O 的切线；…………………………………………………………………………4分 （其它证法参照给分） (2)∵四边形ABDE 内接于⊙O∴∠AED ＋∠ABD ＝180° ∵∠AED ＋∠DEF ＝180° ∴∠DEF ＝∠ABD … ………………………………………………………………………5分 又∵∠DFE ＝∠ADB ＝90°…………………………………………………………………6分 ∴△DEF ∽△ABD …………………………………………………………………………7分（3）作CG ⊥AB 于点G ，连接OM ，∵⊙O 与CM 相切于点M ，∴OM ⊥CM ，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC∴∠BAC ＝2∠BAD ＝2∠CAD∵∠MCA ＝2∠BAD ∴∠BAC ＝∠MCA∴CM ∥AB ， ∴CG ＝OM ＝OA ＝12AB ＝12AC ＝5， 在Rt △ACG 中， ∵sin ∠BAC ＝CG AC ＝12∴∠BAC ＝30°，……………………………………………………………………………8分 ∵OD ∥AC ，∴∠AOD ＋∠BAC ＝180°，· D OA C E F M · DO A CE F M · D O A C E F M H GM B C D A N K ∴∠AOD ＝150°，∴⌒AD 的长为150·π·5180＝25π6．……………………………………………………………9分27．（本题11分）(1)作∠ABK 的角平分线交AD 于P ，或连AK 作AK 的垂直平分线交AD 于P 或过点K 作2分3分 4分6分 4分 6分 ……………………………………………………………………………………………7分6，12，8……………………………………………………………………………11分。