（土层性质变化不大时）
加 载
E、
与(x, y, z)无关 与方向无关
卸 载
εp εe
ε
§3.2 土体自重应力的计算
一、水平地基中的自重应力
定义：在修建建筑物以前，地基中由土体本身的有效重量而 产生的应力。
目的：确定土体的初始应力状态
假定：水平地基半无限空间体半无限弹性体 （同一深 度应力 状态相同，水平垂直主应力面）
根据圣维南原理，基底压力的具体分布 形式对地基应力计算的影响仅局限于一定深 度范围；超出此范围以后，地基中附加应力 的分布将与基底压力的分布关系不大，而只 取决于荷载的大小、方向和合力的位置。
简化计算方法：
假定基底压力按直线分布的材料力学方法
基础形状与荷载条件的组合
竖直中心
荷载条件 竖直偏心
倾斜偏心
本章重点
1、应力状态及应力应变关系
地基中的应力状态
应力应变关系
土力学中应力符号的规定
强度问题 变形问题
2、自重应力
建筑物修建以前，地基中由土体 本身的有效重量所产生的应力。
3、附加应力 4、基底压力计算
建筑物修建以后，建筑物重量等 外荷载在地基中引起的应力，所 谓的“附加”是指在原来自重应 力基础上增加的压力。
▽平面应变条件下，土体在x, z平面内可以变形， 但在y方向没有变形。
y 0;
yx yz 0; zx 0
zx z


xz
x
▪应变条件 ▪应力条件 ▪独立变量
y 0;
xy yz 0;
zx 0
y

y E

E

x
z
0
y x z
h
z

(K
A s

K
B s

K
C s

K
D s
)p
a
b.矩形面积外
z

(K
begh s

K
afgh s

K cegi s

K
df s
gi
)p
b
A D
ig df
ce
三、矩形面积三角形分布荷载作用下的附加应力计算
y
BL
z 0 0 dz z (pt ,m,n)
dP
pt
z Kt1 pt
z Ksp
L
B
z
M
m=L/B, n=z/B
z
s

F
(B,
L,
z)

F
(
L B
,
z B
)

F
(m,
n)
Ks为矩形竖直向均布荷载角点下的附加应力系数
2. 任意点的垂直附加应力—角点法
荷载与应力间
满足线性关系
B
角点下垂直附加
角点法
叠加原理 应力的计算公式
C
地基中任意点的附加应力
两种情况：
a.矩形面积内
P B
e
x
L
y
pmax
pmin 0
e<B/6: 梯形
P B
e
x
L
pmax
y
pmin 0
e=B/6: 三角形
pmax
min

P A
1
6e B
P B
Ke
x
L
K=B/2-
e
3K y pmin 0
pmax
pmax

2P 3KL

3(B
2P 2 e)L
e>B/6: 出现拉应力区
3）矩形面积双向偏心荷载
P B
Mx Pey; My Pex
e
x
ex y
y
pmax

P 1 A
6e B
L
p(x, y) P Mxy Myx
A Ix
Iy
pmin

P A
1
6e B
当ey 0, ex e
pmax
min

P A
1
R2 r2 z2 x2 y2 z2
z

3P 2
z3 R5

3
1
2 [1 (r / z)2 ]5/ 2
P z2
K 3
1
3
1
2 [1 (r / z)2 ]5/2 2 [1 tg 2 ]5/2
z

K

P z2
K为集中力作用下的应力分布系数 r / z tg
m----基底以上土层的加权平均重度
P0：用来计算地基附加应力
§3.4 地基中附加应力的计算
1.竖直集中力 2.矩形面积竖直均布荷载 3.矩形面积竖直三角形荷载 4.圆形面积竖直均布荷载
5.竖直线布荷载 6.条形面积竖直均布荷载
特殊荷载：将荷载和面积进行分解， 利用已知解和叠加原理求解
一、竖直集中力作用下的附加应力计算
x , z , xz ; x , z , xz ; F(x, z)
4.侧限应力状态——一维问题
水平地基半无限空间体；
半无限弹性地基内的自重应 力只与Z有关；
土质点或土单元不可能有侧 向位移侧限应变条件；
o x
y
A
z
B
sA sB
任何竖直面都是对称面
▪应变条件
▪应力条件
▪独立变量
x y; z xy , yz , zx 0
x y; z xy , yz , zx 0
x y , z; x y , z
3.平面应变条件——二维问题
▽垂直于y轴切出的任意断面的几何形状均相同， 其地基内的应力状态也相同；
▽沿长度方向有足够长度，L/B≧10；
z

2pz3 (x2 z2 )2
p
x
2px2z x (x2 z2 )2
zx

2pxz2 (x2 z2 )2
z
y
xM
z
y x z
六、条形面积竖直均布荷载作用下的附加应力计算
任意点下的附加应力—F氏解的应用
z Kszp
x Ksxp
xz

K
z

K

P z2
K 3
1
P
o αr
x
M’y
x
R βz
2 [1 (r / z)2]5 / 2
y
M
z
特点及分布规律：
1.σz与α无关，应力呈轴对称分布 2.σz:τzy:τzx= z:y:x,
合力过原点，与R同向
3.P作用线上，r=0, K=3/(2π）,z=0, σz→∞， z→∞，σz=0 4.在某一水平面上z=const， r=0, K最大，r↑，K减小，σz 减小 5.在某一圆柱面上r=const， z=0, σz=0，z↑，σz先增加后 减小 6.σz 等值线－应力泡
第三章 土体中的应力计算
§3.1 概述 §3.2 自重应力 §3.3 基底压力计算 §3.4 附加应力
§3.1 概述--应力状态及应力应变关系
一、土力学中应力符号的规定
地基：半无限空间
∞
o
∞
x
∞
y z
二、地基中常见的应力状态
1.一般应力状态——三维问题
2. 轴对称三维问题
▪应变条件
▪应力条件
▪独立变量：
6e B
4）条形基础竖直偏心荷载
令L=1，即可由矩形基础竖直偏心 荷载公式得出相应条形基础公式：
e P
pmax
min

P 1 B
6e B
B
p(x) P Mx BI
五、基底附加压力 p0计算
1、基底附加压力 p0的概念 2、计算公式 ：p0 = p - md

1(1 2 )
2

2
均质地 基
成层地基
§3.3 基底压力计算
一、概念
上部结构
基础
上部结构的自重及各 种荷载都是通过基础 传到地基中的。
地基
基础结构的外荷载
基底反力
基底压力
基底压力：基础底面传递给地基 表面的压力，也称基底接触压力。
附加应力 地基沉降变形
二、影响基底压力因素
有侧限应变条件一维问题
计算：地下水位以上用天然容重，地下水位以下用浮容重
1.计算公式ຫໍສະໝຸດ γ1Z γ2γ3
竖直向： cz z cz W A zA A z
水平向： cx cy K0 cz
K0 1
竖直向： cz i Hi cz 1H1 2H2 3H3;
3）弹性地基，绝对刚性基础
▪抗弯刚度EI=∞ → M≠0； ▪反证法: 假设基底压力与荷载分布相同，则地 基变形与柔性基础情况必然一致； ▪分布: 中间小, 两端无穷大。
4）弹塑性地基，有限刚度基础
— 荷载较小 — 荷载较大
砂性土地基
— 接近弹性解 — 马鞍型 — 抛物线型 — 倒钟型
粘性土地基
四、基底压力实用简化计算
s xz
p
y
K
s z
,
K
s x
,
K
s xz

F(B, x, z)

F( x B
, z) B

F(m, n)
B
x
z
p
x z
M
Kzs为条形面积竖直均布荷载作用时的附加应力分布系数
z