第二章 综合练习题一、 填空题1. 若21lim 11x x x b x →∞⎛⎫+-+= ⎪+⎝⎭，则b =________. 2. 若当0x →时，1cos x -与2sin2x a 是等价无穷小，则a =________. 3. 函数21()1ln f x x =-的连续区间为________. 4. 函数2()ln |1|x f x x -=-的无穷间断点为________. 5. 若21sin ,0,(),0,x x f x xa x x ⎧>⎪=⎨⎪+⎩…在R 上连续，则a =________. 6. 函数()sin x f x x=在R 上的第一类间断点为________. 7 当x → 时，11x e -是无穷小量8 设21,10(),012,12x x f x x x x x ⎧--≤<⎪=≤<⎨⎪-≤≤⎩，()f x 在 处间断 9 当0x →时，arctan x 是x 的 阶无穷小量10 极限2352lim sin 53x x x x→∞+=+ 二、 选择题1. 设数列1,1,1n n n u n n -⎧⎪=⎨⎪+⎩为奇数,为偶数, 则当n →∞时，n u 是（ ） A. 无界变量 B. 无穷大量 C. 有界变量 D. 无穷小量2. 函数()f x 在0x 连续是函数在0x 处存在极限的（ ）A. 充分条件但不是必要条件B. 必要条件但不是充分条件C. 充要条件D. 既不是充分条件也不是必要条件 3. 0sin()sin lim x x xββ→+-的值是 （ ） A. sin β B. cos β C. 1 D. 极限不存在4. n ）A. 1B. 0C. 12D. 因为当n →∞时，分母为0，因此极限不存在 5. 下列极限正确的是 （ ） A. 01sinlim 11x x x →= B. 1sin lim 11x x x →∞= C. 01lim sin 1x x x →= D. 1lim sin 0x x x→∞= 6. 设函数在点处连续，则下列陈述中不正确的是（ ）A. ()f x 在点0x 处有定义B. ()f x 在点0x 处的左极限存在C. ()f x 在点0x 处可导D. ()f x 在点0x 处的值与0lim ()x x f x →相等 三、 计算题1. 求下列极限：（1）n →∞ （2）41sin 2lim1cos 4x x x π→+- （3）0x → （4）01lim x x→ （5）11lim x x x -→（6）201lim 1x x e →-2.设1;()4,1x f x x ≠==⎩，求,a b ，使()f x 在1x =处连续。
3. 求kk x 为当0x →时的等价无穷小。
4. 求函数tan()4()(1)xx f x x π-=+在区间(0,2)π内的间断点，并判断其类型。
证明题1. 证明：方程sin 10x x ++=在开区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内至少有一个实根。
2. 设()f x 在[,]a b 上连续，且a c d b <<<，,0p q >，证明在[,]a b 上至少存在一点ξ，使得()()()()pf c qf d p q f ξ+=+.3. 设()f x 在[,]a b 上连续，且恒为正，证明：对于任意1212,(,)()x x a b x x ∈<，在12[,]x x上至少存在一点ξ，使得()f ξ=第三章 综合练习题一、选择题1.若'()f a k =存在，则1lim (()())h f a f a h h --=→+∞（ ） （A ）k - (B)k (C)0 (D)不存在2. 若()(),lim f x f a A A x a x a-=-→为常数，则以下结论不正确的是： （A ）()f x 在点x a =处连续 （B ）()f x 在点x a =处可导（C ）()lim f x x a→存在 (D) ()()()f x f a A x a -=-3.函数1()1x y f x +=-满足'()arctan f x =2dy dx x == （A）(B) -34.设)(x f 在0x 的附近有定义，则下列选项中与命题“'()0f x 存在”不等价的是： （A ）()()00lim 0f x kx f x x x +-→存在（01k ≠或） (B) (())()00lim ,()0f x a x f x a x x +-→其中()0,lim ()00a x a x x >=→且 (C) 1lim [(()())]000x f x f x x x --→存在 (D)()()00lim sin 0f x x f x x x --→ 存在 5.若在(,)a b 内，函数()f x 的一阶导数'()0f x >，二阶导数"()0f x <，则函数()f x 在此区间内(A)单调减少，曲线是凹的 (B)单调减少，曲线是凸的(C)单调增加，曲线是凹的 (D)单调增加，曲线是凸的6.设()f x 在(,)-∞+∞有定义，0x 是()f x 的极大值点0(0)x ≠，则(A)0x -必是()f x --的极小值点 (B)0x 是()f x 的驻点(C)0x -是()f x -的极大值点 (D)对一切x 有0()()f x f x ≤7.设()f x 在闭区间[,]a b 有定义，在(,)a b 内可导，则(A) 当()()0f a f b <，存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ=(B) 对任意(,)a b ξ∈，有lim(()())0x f x f ξξ→-= (C) 当()()f a f b =时，存在(,)a b ξ∈使'()0f ξ=(D) 存在(,)a b ξ∈，使'()()()()f b f a f b a ξ-=-8.已知函数()y f x =对一切x 满足"'2()3[()]1x xf x x f x e-+=-，若'00()0(0)f x x =≠，则(A)0()f x 是()f x 的极大值 (B)0()f x 是()f x 的极小值(C)00(,())x f x 是曲线()y f x =的拐点 (D)以上均不对二、填空题1. 曲线2ln 1x y y +=在点(1,1)处的法线方程是2. 某企业每月生产q 吨产品时总成本c 函数为2()1020c q q q =-+则每月生产产品8吨时的边际成本是3. 设()y y x =是由方程tan()x x y =- 所确定的隐函数则22d y dx4.设函数()f x 的二阶导数存在，则 ()()2()lim 20f x h f x h f x h h++--=→ 5.21()1x x f x ax bx ⎧>=⎨+≤⎩，在1x =处连续且可导，则a = ，b = 6 '(sin ln )x x =7设y =dy =8 设函数()f x 在0x =处可导，且(0)0f =，则0()limx f tx x→= 9 ()y f x =是由方程2cos xy e y x +=确定的隐函数，则dy dx = 10.0ln lim ln(1)x x x e +→=- ； 11.设32()6f x ax ax b =-+在区间[1,2]-上的最大值为3，最小值为29-，又知0a >，则a = ，b = ；12.设在[0,1]上"()0f x >，则''(0),(1),(1)(0)f f f f -的大小顺序是 ；13.曲线21x y xe =的垂直渐近线是 ；14.'0()0f x =是可导函数()f x 在点0x 处有极值的 条件；15.曲线2x y e -=上凸区间是 。
三、计算1．设ln(1)()x f x +⎧⎪=1001x x -<≤<< ，讨论()f x 在0x =处的连续性与可导性。
2. 设()f x 在1x =处具有连续导数，且'(1)3f =，求lim 0d f dx x +→ 3.设2()2||,f x x x x =+ 求'()f x ，并证明"(0)f 不存在。
4.设()f x 在(0,)+∞上连续，,(0,)12x x ∀∈+∞满足()()()1212f x x f x f x =+，已知'(1)f 存在，且'(1)1f =，试证明()f x 在(0,)+∞内可导，并求'()f x5 设,0()12,0a x f x x xb x ⎧≥⎪=+⎨⎪+<⎩在0x =处可导，求a 与b6 设曲线3()f x x ax =+与2()g x bx c =+都通过点(1,0)-，且在点(1,0)-有公切线，求,,a b c7 已知11(1)x y x =+，求'1x y = 8、 函数的导函数为单调函数，问此函数是否也是单调函数？举例说明。
9、 确定函数22ln y x x =-的单调区间10、设()f x 具有一阶连续导数，且'(0)0,(0)2f f ==，求20(1cos )lim tan x f x x→- 11、210arcsin lim()x x x→ 12、确定曲线4y x =的凸向与拐点13、函数()y y x =由方程3222221y y xy x -+-=所确定，求()y y x =的驻点，并判别它是否为极值点四、应用题1、某商品的需求量Q 关于价格P 的函数为275Q P =-（1）求4P =时的需求价格弹性并说明经济意义；（2）4P =时，若价格提高001，总收益是增加还是减少？变化百分之几？2、设某产品的成本函数为2C aq bq c =++，需求函数为1()q d P e=- 其中C 为成本，q 为需求量（也是产量），P 为单价,,,,,a b c d e 都是正的常数,且d b >,求：1) 需求价格弹性2) 需求价格弹性的绝对值为1时的产量3、某商品进价为a （元/件），据经验，当销售价为b （元/件）时，销售量为c 件（,,a b c 为正数，且43b a ≥）市场调查表明，销售价每下降0010，销售量可增加0040，现决定一次性降价，问当销售价定为多少时，可获最大利润，并求最大利润证明题1、证明函数1,0()10,0x x x f x e x ⎧≠⎪=⎨-⎪=⎩在0x =处不可导2.证明方程510x x +-=只有一个正根3.已知函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，试证明：在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得'2()()0f f ξξ-=4. 已知函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，又有(,)c a b ∈使得()0f c f ，试证明：在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ''p .。