一元函数微分学典型例题1. 有关左右极限题求极限⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++→x x sin e e lim x x x 41012 ● 根据左右极限求极限，● 极限xx e lim 1→，x x sin lim x 0→，x tan lim x 2π→，x cot lim x 0→，x cot arc lim x 0→，x arctan lim x 10→都不存在， ●A )x (f lim A )x (f lim )x (f lim x x x =⇔==∞→-∞→+∞→● 【 1 】2. 利用两个重要极限公式求1∞型极限xsin x )x (lim 2031+→● 0→)x (ϕ，e ))x (lim()x (=+ϕϕ11●A )x (f lim =0→)x (ϕ，A )x (f )x (e ]))x (lim[(=+ϕϕ11● 【6e 】3. 等价无穷小量及利用等价代换求极限 当0x +→(A)1-(B) ln(C) 1.(D) 1-.● 等价无穷小定义：如果1=αβlim，则称β与α失等价无穷小，记为α∽β， ● 0→x 时，（1）nx x ax a xx x x x x x xx e x x x x x nx x ≈-+≈-≈-+≈-≈---+≈-≈+≈≈≈≈1111121161111123ln )(cos sin )ln(arctan tan sin αα● 当0→)x (ϕ时，)x (sin ϕ∽)x (ϕ，11-+n)x (ϕ∽n)x (ϕ∽∽● 【 B 】4. 利用单调有界准则求极限设数列{}n x 满足n n x sin x ,x =<<+110π。
证明：极限n n x lim ∞→存在，计算11nxn n n x x lim ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→● 利用单调有界准则球数列或者函数极限的步骤：1。
证明数列或函数单调；2。
证明数列或函数是有界；3。
等式取极限求出极限。
● 定理单调有界数列必有极限还可以叙述为单调递减有下界数列必有极限，或单调递增有上界数列必有极限。
●6112-→=⎪⎭⎫ ⎝⎛e x x sin lim xx ● 【 0；61-e】5. 判断函数连续与否以及利用函数的连续性解题 设函数f (x )在x =0处连续，下列命题错误的是：(A) 若0()limx f x x →存在，则f (0)=0. (B) 若0()()lim x f x f x x→+-存在，则f (0)=0.(C) 若0()lim x f x x →存在，则(0)f '存在. (D) 若0()()lim x f x f x x→-- 存在，则(0)f '存在 【 】 ● 若()()00x f x f limx x =→，则称函数()x f 在点0x 处连续。
● 左连续右连续则连续。
● 分段函数的分段点不一定是函数的间断点。
● 判断函数在某点是否连续的步骤：求函数在该点的极限；求函数在该点的函数值；判断二者是否相等，相等则连续，否则间断。
6．导数的定义式相关题目 设函数()x f 在x=0某领域内有一阶连续导数，且()()0000≠'≠f ,f 。
若()()()02f h bf h af -+在0→h 时是比h 高阶的无穷小，试确定a, b.● 函数在某一点导数的定义：()()()xx f x x f limx ylimx f x x ∆∆∆∆∆∆00000-+=='→→ ()()()()()0000000x x x f x f lim h x f h x f limx f xx h --=-+='→→● 求函数在某一点导数的步骤：求出函数至的增量y ∆；求极限xy limx ∆∆∆0→。
●()x ϕ在x=0连续，若0→x 时, ()x ϕ∽x, 则()()[]()[]xf x f limf x 000ϕϕ-='→.7. 利用左右导数判断函数在一点的可导性 设函数()n nn xlim x f 31+=∞→，则f(x)在实数集合内：A 处处可导；B 恰有一个不可导点；C 恰有两个不可导点；D 至少有三的步可导的点。
● 左导数，右导数和导数之间的关系，判断函数在某一点步可导的方法。
● 函数x y =在x=0点不可导，x x y =在0点可导；●x x y p =当p>=0时在0点可导，p<0时不可导。
8．隐含数与参数方程所确定的函数求导数 已知函数y=y(x)由方程0162=-++x xy ey确定, 则()=''0y● 一元函数隐函数的求导方法：方程两边同时对x 求导，解关于y '的方程；方法二：令F(x,y)=方程的左边减右边，则yF xF dxdy∂∂∂∂-=。
● 由参数方程确定的函数求导方法：dtdxdt dy dx dy =，二阶导数dtdxdx dy dt d dx dy dx d dx y d ÷⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=229．一元函数的极值相关题设函数f(x)在全体实数内连续，其到函数的图形如图，则有A 一个极小值点和两个极大值点；B 两个极小值点和一个极大值点；C 两个极小值点和两个极大值点；D 三个极小值点和一个极大值点。
● 函数极值是一个局部性的概念，它只是局部的最值，函数的极大值甚至比极小值小；而最值是一个区间上的整体性质，有时函数极值正是函数的最值。
● 利用函数极值的定义和机制的第一充分条件与第二充分条件来判断； ● 导数为零的点即驻点或者导数不存在的点都可能是极值点。
10．函数不等式的证明设2e b a e <<<，证明()a b ea lnb ln->-2224● 证明不等式转化为证明函数在区间上的单调性，甚至多次用到函数的单调性。
步骤为：●11．利用洛比塔法则求极限 求极限2111xx sin e limx x ----→● 1● 利用洛比塔法则求极限的步骤：判断未定式为∞∞or ,00，若不是，化成该型；分子分母求导，得出结果，或者再一次用法则；得出结果。
● 用洛比塔法则时，有时同等价无穷小量结合起来，可简化运算。
● 其他类型的未定式00100∞∞-∞∞⋅∞,,,,等要先化成∞∞or ,00，然后再计算，通分，利用对数，还可以用特殊极限求解。
12．利用微分中值定理证明等式或者不等式设函数f (x ), g (x )在[a , b ]上连续，在(a , b )内具有二阶导数且存在相等的最大值，f (a )=g (a ), f (b )=g (b ), 证明：存在(,)a b ξ∈，使得()().f g ξξ''''=● 中值定理包括：罗尔中值定理，拉格朗日中值定理．柯西中值定理； ● 罗尔定理需要满足三个条件； ● 拉格朗日定理常用形式：()()()()00x x f x f x f -'=-ξ()()()[]()0000x x x x x f x f x f --+'=-θ()[]x x x f y ∆∆θ∆+'=0● 利用中值定理证明等式的步骤：构造函数，什么连续单调区间，利用什么中值定理． 证明：记()()()x g x f x F-=，则()()0==b F a F ，设x 1, x 2分别为函数f 和g的最大值点，则()()0021≤≥x F ,x F，所以存在()()021=∈c F ,x ,x c ．F(x)在［a, c ］, [c, b]上用罗尔中值定理，再一次用则得到结论． 13. 泰勒公式相关题目设函数y=f(x)在(-1, 1)具有二阶连续导数且()0≠''x f , 试证(1) 对于(-1, 1)内的任意x 不等于0，存在唯一的()()10,x ∈θ，使()()()()x x f x f x f θ'+=0成立； (2) ()21=→x lim x θ● 利用泰勒公式解题的步骤：根据条件写出函数的泰勒公式；将公式变形在解题； ● 泰勒中值定理的内容：f(x)在含x 0的某个开区间（a, b ）内具有直到(n+1)阶的导数，则对(a, b)内的任意x 有()()()()()()()()()()x R x x !n x f x x !x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+=002000002 其中()()()()()1011++-+=n n n x x !n f x R ς，()0x ,x ∈ς ● 泰勒中值定理是微分中值定理的高阶形式，n=0时为拉格朗日定理 证明：（１）只需要证明唯一性。
因为二阶导数不等于零，所以说二阶导数不变号，所以一阶导数严格单调，所以唯一性成立；（２）由于()()()()x x f x f x f θ'+=0 ()()()()22100x f f x f x f ξ''+'+= ()()()()()()ξθθθf x x f x x f x ''='-'210()()()()()()()0210000≠''''='-'→→→x f ,f lim x x f x x f lim x lim x x x ξθθθ所以()21=→x lim x θ14．求曲线的渐近线曲线()x e ln xy ++=11一的渐近线条数为: A 0 B 1 C 2 D 3● 曲线的渐近线分为: 水平渐近线, 铅直渐近线和斜渐近线. ● 若()∞=→x f limx x 0, 或者()∞=-→x f lim x x 0, 或者()∞=+→x f lim x x 0, 则x=x 0为曲线f(x)的铅直渐近线 ● 若()b x f limx =∞→, 或者()b x f lim x =-∞→, 或者()b x f lim x =+∞→, 则y=b 为曲线f(x)的水平渐近线 ● 若()a xx f limx =∞→, ()b ]ax x f [lim x =-∞→, 则y=ax+b 为曲线的斜渐近线. ● 3条, 选择D15. 利用第二换元法,分部积分法计算不定积分求dx ee arctan xx ⎰2 ● 设()t x ϕ=是单调的可导的函数,且导数不等于0, 则()()[]()()()[]c x F c t F dt t t f dx x f +=+='=-⎰⎰1ϕϕϕ ●⎰-dx x a 22,令22ππ<<-=t ,t sin a x● 换元不唯一,例如⎰+221x x dx , 可以令tx or ,t tan x 1==。