λ I − A = λ (λ + 1)2
---------------3 ----------------3 -------------6 --------------2 ---------------2
特征值为 0，—1（二重） （2）不变因子 1,1, λ (λ + 1) 2 初等因子 λ , (λ + 1) 2 最小多项式 m(λ ) = λ (λ + 1) 2
(tr ( A))2 = (λ1 + L + λn ) 2 ≥ λ12 + L + λn2 = tr ( A2 ) 。 ---------------4
（3）因为 A > 0 ，则 A 可逆，并且 A−1 > 0 。由 I = AA−1 ，可得
n = tr ( I ) = tr ( AA−1 ) = tr ( AH A−1 ) ≤ tr ( AH A)tr ( A− H A−1 ) 2 = tr ( A2 )tr ( A−2 ) 2
E = Vdiag ( µ1 ,L , µ n )V H
1 1
1
1
-------------8
其中 µ1 ≥ L ≥ µ n 。因为 A = E 3 ，则 µi3 = λi (i = 1,L , n) ， E = Vdiag (λ13 ,L , λn3 )V H 。由
A = B 3 = E 3 ，有 Udiag (λ1 ,L , λn )U H = Vdiag (λ1 ,L , λn )V H 。
A + = C T ( CC
T
-----------------5
1 4 0 1 − 4
)−1 ( B T B )−1 B T
1 − 4 = 0 1 4
0 1 0
---------5
1 （2）因为 AA + b = 2 ≠ b ; 所以不相容的。 -----------3 2 1 4 -----------3 其极小最小二乘通解为 x = A + b = 2 1 − 4 （3）因为 x 是不相容线性方程组 Ax = b 的最小二乘解当且仅 x 是如下相容线性方程组
南 京 航 空 航 天 大 学
研究生考试参考答案及评分标准
共 4 二 OO 八 ～二 OO 九 学年 第 1 学期 课程名称：矩阵论 A 卷 参考答案及评分标准制定人： 《矩阵论》课程组
一、 （20 分） （1）特征值多项式为 f (λ ) =
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课程编号: A000003 考试日期: 2009 年 1 月 13 日
记 P = U H V = ( pij ) ，则 diag (λ1 ,L , λn ) P = Pdiag (λ1 ,L , λn ) ，从而
λi pij = λ j pij (i, j = 1,L , n) ，
于是
1 1
λi3 pij = λ j3 pij (i, j = 1,L , n) ，
即
diag (λ13 ,L , λn3 ) P = Pdiag (λ13 ,L , λn3 ) ，
1 1 1 1
因此 B = Udiag (λ ,L , λ )U = Vdiag (λ ,L , λ )V H = E 。
H
1 3 1
1 3 n
1 3 1
1 3 n
-------------4
（2）因为 A ≥ 0 ，所以 A 的特征值均非负。设 A 的特征值为 λ1 ,L , λn ，且 λ1 ≥ L ≥ λn ≥ 0 ， 则 A2 的特征值为 λ12 ,L , λn2 ，于是
P
−1
≤| λ |≤ A 。
---------6 -----------6
= P −1 AP 满足相容矩阵范数的四个条件。
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三、 （20 分）
（1） A 的满秩分解为 1 0 − 1 0 1 A = 0 1 0 1 0 − 1 0
------2 ------3
1 0 0 A = 1 2 −1 。 0 0 1
------------5
（3）因为 T 在基 ε 1 , ε 2 , ε 3 下的矩阵 A 非奇异， Ker (T ) = N (T ) = {0}, dim( N (T )) = 0 。---2
R (T ) = span(T (ε1 ), T (ε 2 ), T (ε 3 )) = span(ε1 + ε 2 , 2ε 2 , −ε 2 + ε 3 ) = V ， 则 dim( R (T )) = 3 。 ----3
（4） 因为矩阵 A 的初等因子为 λ − 2, λ − 1, λ − 1 ，所以矩阵 A 可对角化。因为线性变换 在不同基下的矩阵是相似的，因此存在一组基使得（2）中线性变换 T 在所取基下 的矩阵为对角矩阵。
1 0 1 因为矩阵 A 对应于特征值 λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 1 的特征向量为 −1 , 1 , 0 , 则取 V 的 0 0 1
1 −1 0 1 1 0 一 组 基 为 α1 = ,α 2 = ,α3 = ， T 在 基 α1 , α 2 , α 3 下 的 矩 阵 为 0 0 0 0 0 1
1 0 0 A = 0 2 0 。 0 0 1
------------5
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五、 （20 分） （1）因为 A 为 n 阶 Hermite 矩阵，则存在 n 阶酉矩阵 U，使得
A = U ΛU H ，
其中 Λ = diag (λ1 ,L , λn ) ，并且 λ1 ≥ L ≥ λn 。令 B = Udiag (λ13 ,L , λn3 )U H ， 则 B 是 n 阶 Hermite 矩阵，并且 A = B3 。 设有另一个 n 阶 Hermite 矩阵 E，使得 A = E 3 ，则 E 有谱分解
由（2）知 tr ( A2 ) ≤ tr ( A), tr ( A−2 ) ≤ tr ( A−1 ) ，因此n ≤ tr ( A)tr ( A−1 ) 。 -------------4
1
1
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（20 分） 四、 （ （1）dim(V)=3, 1 0 0 1 0 0 V 的一组基为 ε 1 = ,ε2 = ,ε3 = 0 0 0 0 0 1 （2）因为 T (ε1 ) = ε1 + ε 2 , T (ε 2 ) = 2ε 2 , T (ε 3 ) = −ε 2 + ε 3 则线性变换 T 在基 ε 1 , ε 2 , ε 3 下的矩阵为
则
Ax = λ x,
因为 . 是 C
n× n
A−1 x = λ −1 x
上的相容矩阵范数，则存在与 . 相容的向量范数 . a ，从而
−1 | x a ≤ A−1 x
a
因为 x a > 0 ，则 A−1
（ii） 容易验证： A
AT Ax = AT b
的解， 所以不相容线性方程组 Ax = b 的最小二乘解唯一当且仅当 AT A 非奇异， 即 rank ( AT A) = n 。因为 rank ( AT A) = rank ( A) ，所以不相容线性方程组 Ax = b 的最 小二乘解唯一当且仅当 A 列满秩。 -----------4
−1 1 （3）Jordan 标准形 −1` 0 0
二、 （20 分） （1） A 1 = 3; A （2）证明：
2
----------------------4
= 3; A ∞ = 2; A
F
= 5
--------- 2’ *4 = 8
(i) 因为 A 可逆， A 的特征值均非零。 λ 是 A 的任一特征值，x 是相应的特征向量， 则 设