(4)因为
,
又 ,即 ,故该矩阵的最小多项式为 .
(5)因为
,
而 是 的因子,经检验知 是矩阵 的最小多项式.
取 ,解此方程组,得
.
则相似变换矩阵
.
7.设矩阵
，
试计算 .
解:矩阵 的特征多项式为
,
由于
,
其中 .
且
,
故
= .
8.证明：任意可逆矩阵 的逆矩阵 可以表示为 的多项式.
证明:设矩阵 的特征多项式为
,
则
,
即
,
因为 可逆,故 ,则
9.设矩阵
，
试计算 .
解:矩阵 的特征多项式为
,
则
,
而
,
故
.
10.已知3阶矩阵 的三个特征值为1，－1，2，试将 表示为 的二次式.
,
于是不变因子为
故该矩阵的Smith标准形为
.
2.求下列 矩阵的不变因子：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
解：（1）该 矩阵的右上角的2阶子式为1，故
而
，所以该 ຫໍສະໝຸດ 阵的不变因子为;（2）当 时，由于
， ，
故不变因子为
，
当 时，由于
，
且该 矩阵中右上角的3阶子式为
且 ，
则 ，故 ，所以该 矩阵的不变因子为
故 的初等因子为
，
从而 的Jordan标准形为
;
（5）设该矩阵为 ，则
,
故 的初等因子为
，
从而 的Jordan标准形为
;
（6）设该矩阵为 ，则
，
该 矩阵的各阶行列式因子为
，
则不变因子为
，
故初等因子为
，
则 的Jordan标准形为
.
5．设矩阵
，
求 .
解：矩阵 的特征多项式为
，
故 的特征值为 , .
属于特征值 的特征向量为 ,
解:矩阵 的特征多项式为
,
则设
,
由 得
解之，得
,
因此
.
11.求下列矩阵的最小多项式：
（1） ；（2） ；
（3） 阶单位阵 ；（4） 阶方阵 ，其元素均为1；
（5） .
解:(1)设 ,则
,
故该矩阵的最小多项式为 .
(2)设 ,则
,
故该矩阵有三个不同的特征值,因此其最小多项式为
(3) 阶单位阵 的最小多项式为 .
习题二
1．化下列矩阵为Smith标准型：
（1） ;
（2） ;
（3） ;
(4) .
解：（1）对矩阵作初等变换
，
则该矩阵为Smith标准型为
；
（2）矩阵的各阶行列式因子为
,
从而不变因子为
故该矩阵的Smith标准型为
；
（3）对矩阵作初等变换
故该矩阵的Smith标准型为
;
(4)对矩阵作初等变换
在最后的形式中，可求得行列式因子
属于 的特征向量为 .
设
, ,
则 .,故
.
6.设矩阵
，
求 的Jordan标准形 ，并求相似变换矩阵 ，使得 .
解:(1)求 的Jordan标准形 .
,
故其初等因子为
，
故 的Jordan标准形
.
(2)求相似变换矩阵 .
考虑方程组
即
解之,得
.
其通解为
= ,
其中 为任意常数.
考虑方程组
,
故当 时,方程组有解.
;
（3）该 矩阵的右上角的3阶子式为 ，故
而
，
所以该 矩阵的不变因子为
;
（4）该 矩阵的行列式因子为
,
所以该 矩阵的不变因子为
.
3．求下列 矩阵的初等因子：
（1） ；
（2） .
解：(1)该 矩阵的行列式因子为
，
故初等因子为 ；
(2)该 矩阵的行列式因子为
，
故不变因子为
因此，初等因子为 .
4．求下列矩阵的Jordan标准形：
（1） ；（2） ；（3） ；
（4） ；（5） ；（6） .
解：（1）设该矩阵为 ，则
，
故 的初等因子为
，
则 的Jordan标准形为
；
（2）设该矩阵为 ，则
，
故 的初等因子为
，
从而 的Jordan标准形为
；
（3）设该矩阵为 ，则
,
故 的初等因子为
从而 的Jordan标准形为
;
（4）设该矩阵为 ，则
,