保靖民中2011年秋学期高二数学期中试卷（文科）时量：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若a b >且c R ∈，则下列不等式中一定成立的是 （ ） A ．a c b c +>+ B ．22a b > C ．ac bc > D ．22ac bc > 2．已知数列1…，是这个数列的 （ ） A ．第10项 B ．第11项 C ．第12项 D ．第13项3．在等差数列{}n a 中，156a a +=，则3a = （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．64.关于x 的不等式x x x 352>--的解集是（ ） A.{}|51x x x ≥≤-或 B. {}|5x x ≤≤-1C. {}|5x x <<-1D. {}|51x x x ><-或5．若ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且22()4,120a b c C -=-=，则ab 的值为 （ ）A.4B.23 C.43D.8-6．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos cos a bB A=，则ABC ∆的形状一定是 （ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形或直角三角形 D ．等腰直角三角形7.数列{}n a 中，11222,3,(*,3)n n n a a a a n N n a --===∈≥，则2011a 等于 （ ） A ．12 B ．23 C ．32D ．2 8.设[]x 表示不超过实数x 的最大整数，如[0.3]0=，[0.4]1-=-，则在坐标平面内满足方程22[][]25x y +=的点(,)x y 所构成的图形的面积为 （ ）A ．100πB ．13C ．25πD ． 12第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.把答案填在答题卡的相应位置. 9.若x 是2和8的等比中项，则x = 。

10.已知关于x 的不等式101ax x -<+的解集是112,()-，则a = 。

11．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1(1)n a n n =+，则5S 等于 。

12.已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若::1:2:3A B C =，则::a b c = 。

13.如图，海平面上的甲船位于中心O 的南偏西030，与O 相距10海里的C 处，现甲船以30海里/小时的速度沿直线CB 去营救位于中心O 正东方向20海里的B 处的乙船，甲船需要 小时到达B 处。

14. 已知变量,x y 满足约束条件012x y x y -≤⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，若该不等式组表示的平面区域被直线0x y m ++=分成面积相等的两部分，则m 的值为 。

15.设点M 为ABC ∆内部（不含边界）任意一点，MBC ∆、MAC ∆和MAB ∆的面积分别为x 、y 、z ，映射:(,,)f M x y z →使得点M 对应有序实数组(,,)x y z ，记作()(,,)f M x y z =。

若30BAC ∠=,43AB AC ∙=1()(,,)2f M x y =，则14x y+的最小值为 。

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本题满分12分）已知数列}{n a 的通项公式*26()n a n n N =-∈。

（Ⅰ）求2a ，5a ；（Ⅱ）若2a ，5a 分别是等比数列{}n b 的第1项和第2项，求数列{}n b 的通项公式。

17．（本题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos C 是方程2210x x +-=的一个根，求：（Ⅰ）角C 的度数；（Ⅱ）若2,4a b ==，求ABC ∆的周长。

18．（本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为2(*)n S n n n N =+∈.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若2n a n b n =，求数列{}n b 的前n 项和n T 。

19．（本题满分13分）在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且不等式2cos 4sin 60x C x C ++≥对一切实数x 恒成立。

（Ⅰ）求：角C 的最大值；（Ⅱ）若角C 取得最大值，且c =，求ABC ∆的面积的最大值。

20．（本题满分13分）某厂花费50万元买回一台机器，这台机器投入生产后每天要付维修费。

已知第(*)n n N ∈天应付维修费为1(1)5004n -+元，机器从投产到报废共付的维修费与购买机器费用的和平均分摊到每一天，叫做每天的平均损耗，当平均损耗达到最小值时，机器应当报废。

（Ⅰ）求前n 天维修费用总和；（Ⅱ）将每天的平均损耗y （元）表示为投产天数n 的函数；（Ⅲ）求机器使用多少天应当报废？21．（本题满分13分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(1)(1)(0,*)n n a S a a a n N -=->∈． （Ⅰ）求证数列{}n a 是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）已知集合{}2|(1)A x x a a x =+≤+，问是否存在实数a ，使得对于任意的*n N ∈都有n S A ∈？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由。

保靖民中2011年秋学期期中考试试题高二数学（文科）参考答案满分150分 时量120分钟一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）二、填空题：（本大题共7小题，每小题5分，满分35分）9、 4±； 10、2； 11、56； 12、2；13、3； 14、3-； 15、6。

三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．(本题满分12分)解：（Ⅰ）22262a =⨯-=-52564a =⨯-= ……………6分（Ⅱ）由题意知：122,4b b =-= 所以等比数列{}n b 的公比212b q b ==- ……………9分 ∴数列{}n b 的通项公式为：12(2)(2)n n n b -=-⨯-=- （*n N ∈）. ……………12分17.(本题满分12分)解：（Ⅰ）解方程2210x x +-=得：121,12x x ==- ……………2分 因为(0,)C π∈，所以1cos 2C =……………4分 60C ∴= ……………6分18．(本题满分12分)所以1314499n n n T +-=⋅+ ……………12分19．(本题满分13分)解：（Ⅰ）当cos 0C =即90C =时：不等式460x +≥对x R ∈不恒成立，不符合题意……………2分当cos 0C ≠时：要使不等式2cos 4sin 60x C x C ++≥对一切实数x 恒成立，须有：2cos 016sin 24cos0C C C >⎧⎨-≤⎩ 解得1cos 2C ≥ ……………5分 又因为(0,)C π∈,所以03C π<≤故角C 的最大值为3π。

…………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：3C π=，由余弦定理得：2211222a b ab+-=，即2212a b ab +-=…………9分20．(本题满分13分)解：（Ⅰ）设1(1)5004n a n =-+，则{}n a 为等差数列，且首项为500，公差为14……2分所以前n 天维修费用总和21500(1)500413999288n n n S n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦+-+==+，（n ∈*N ）……4分 （Ⅱ）211399950000039995000008888n y n n n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭=++=++，（n ∈*N ） ………9分（Ⅲ）5000008n n+≥500=， 当且仅当5000008n n=，即2000n =时，y 取到最小值 答：机器使用到2000天时应到报废。

…………13分21．(本题满分13分)解：（Ⅰ）当1n =时，∵(a －1)1S ＝1(1)a a -，∴1a a =(a ＞0)； ………1分 当2n ≥时，∵(1)(1)(0,*)n n a S a a a n N -=->∈ ，∴11(1)(1)(0)n n a S a a a ---=-> ∴ 1(1)()n n n a a a a a --=- ，变形得：1(2),nn a a n a -=≥ ∴数列是以1a a =为首项，a 为公比的等比数列 ………… 4分 其通项公式为(*)n n a a n N =∈ …………5分（Ⅱ）1当1a =时：A ＝{}1，n S n =，只有1n =时，n S A ∈，∴1a =不合题意；……………7分2当1a >时：{}|1A x x a =≤≤，222,S a a a S A =+>∴∉，∴1a >时不存在满足条件得实数a ； ……………9分3当01a <<时：{}|1A x a x =≤≤， 23(1)[,)11n n n a aS aa a a a a a a =++++=-∈--，………… 11分。