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正态分布及其经典习题和答案

专题:正态分布【知识网络】1、取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念;2、能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题;3、通过实际问题,借助直观(如实际问题的直观图),认识正态分布、曲线的特点及曲线所表示的意义。

【典型例题】例1:(1)已知随机变量X 服从二项分布,且E (X )=2.4,V (X )=1.44,则二项分布的参数n ,p 的值为 ( ) A .n=4,p=0.6 B .n=6,p=0.4 C .n=8,p=0.3 D .n=24,p=0.1答案:B 。

解析:()4.2==np X E ,()44.1)1(=-=p np X V 。

(2)正态曲线下、横轴上,从均数到∞+的面积为( )。

A .95%B .50%C .97.5%D .不能确定(与标准差的大小有关) 答案:B 。

解析:由正态曲线的特点知。

(3)某班有48名同学,一次考试后的数学成绩服从正态分布,平均分为80,标准差为10,理论上说在80分到90分的人数是 ( )A 32B 16C 8D 20 答案:B 。

解析:数学成绩是X —N(80,102),80809080(8090)(01)0.3413,480.3413161010P X P Z P Z --⎛⎫≤≤=≤≤=≤≤≈⨯≈ ⎪⎝⎭。

(4)从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数,这两个数之积的数学期望为___________ 。

答案:8.5。

解析:设两数之积为X ,∴E(X)=8.5.(5)如图,两个正态分布曲线图:1为)(1,1x σμϕ,2为)(22x σμϕ,则1μ 2μ,1σ 2σ答案:<,>。

解析:由正态密度曲线图象的特征知。

例2:甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的10道试题中,甲能答对其中的6题,乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试,至少答对2题才算合格.(Ⅰ)求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望; (Ⅱ)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.答案:解:(Ⅰ)依题意,甲答对试题数ξ的概率分布如下: 甲答对试题数ξ的数学期望E ξ=5961321210313010=⨯+⨯+⨯+⨯. (Ⅱ)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ,则P (A )=310361426C C C C +=321202060=+,P (B )=15141205656310381228=+=+C C C C . 因为事件A 、B 相互独立, 方法一:∴甲、乙两人考试均不合格的概率为 ()()()45115141321=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=⋅B P A P B A P ∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 ()454445111=-=⋅-=B A P P 答:甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544. 方法二:∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为()()()454415143215143115132=⨯+⨯+⨯=⋅+⋅+⋅=B A P B A P B A P P 答:甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544.例3:甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X 和Y ,其分布列如下: (1)求a,b 的值; (2)比较两名射手的水平. 答案:(1)a=0.3,b=0.4; (2)23.034.023.01,3.26.031.023.01=⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯=EY EX 6.0,855.0==DY DX所以说甲射手平均水平比乙好,但甲不如乙稳定..例4:一种赌博游戏:一个布袋内装有6个白球和6个红球,除颜色不同外,6个小球完全一样,每次从袋中取出6个球,输赢规则为:6个全红,赢得100元;5红1白,赢得50元;4红2白,赢得20元;3红3白,输掉100元;2红4白,赢得20元;1红5白,赢得50元;6全白,赢得100元.而且游戏是免费的.很多人认为这种游戏非常令人心动,现在,请利用我们学过的概率知识解释我们是否该“心动”.。

答案:设取出的红球数为X ,则X —H (6,6,12),666612()k kC C P X k C -⋅==,其中k=0,1,2,…,6设赢得的钱数为Y ,则Y 的分布列为∴1675100()100502010029.4446277154231E Y =⨯+⨯+⨯-⨯=-,故我们不该“心动”。

【课内练习】1.标准正态分布的均数与标准差分别为( )。

A .0与1 B .1与0 C .0与0 D .1与1 答案:A 。

解析:由标准正态分布的定义知。

2.正态分布有两个参数μ与σ,( )相应的正态曲线的形状越扁平。

A .μ越大 B .μ越小 C .σ越大 D .σ越小答案: C 。

解析:由正态密度曲线图象的特征知。

3.已在n 个数据n x x x ,,,21 ,那么()∑=-ni i x x n 121是指A .σB .μC .2σD .2μ( ) 答案:C 。

解析:由方差的统计定义知。

4.设),(~p n B ξ,()12=ξE ,()4=ξV ,则n 的值是 。

答案:4。

解析:()12==np E ξ,()4)1(=-=p np V ξ5.对某个数学题,甲解出的概率为23,乙解出的概率为34,两人独立解题。

记X 为解出该题的人数,则E(X )= 。

答案:1712。

解析:11121145(0),(1),3412343412P X P X ==⨯===⨯+⨯=231(2)342P X ==⨯=。

∴15117()012212212E X =⨯+⨯+⨯=。

6.设随机变量ξ服从正态分布)1,0(N ,则下列结论正确的是 。

(1))0)(|(|)|(|)|(|>=+<=<a a P a P a P ξξξ (2))0(1)(2)|(|>-<=<a a P a P ξξ (3))0)((21)|(|><-=<a a P a P ξξ (4))0)(|(|1)|(|>>-=<a a P a P ξξ答案:(1),(2),(4)。

解析:(||)0P a ξ==。

7.抛掷一颗骰子,设所得点数为X ,则V (X )= 。

答案:3512。

解析:1(),1,2,,66P X k k ===,按定义计算得735(),()212E X V X ==。

8.有甲乙两个单位都想聘任你,你能获得的相应的职位的工资及可能性如下表所示:根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位并说明理由。

答案: 由于E (甲)=E (乙),V (甲)<V (乙),故选择甲单位。

解析:E (甲)=E (乙)=1400,V (甲)=40000,V (乙)=160000。

9.交5元钱,可以参加一次摸奖。

一袋中有同样大小的球10个,其中有8个标有1元钱,2个标有5元钱,摸奖者只能从中任取2个球,他所得奖励是所抽2球的钱数之和(设为ξ),求抽奖人获利的数学期望。

答案:解:因为ξ为抽到的2球的钱数之和,则ξ可能取的值为2,6,10.4528)2(21028===C C P ξ,4516)6(2101218===C C C P ξ,451)10(21022===C C P ξ 51845162451104516645282==⨯+⨯+⨯=ξE 设η为抽奖者获利的可能值,则5-=ξη,抽奖者获利的数学期望为5755185)5(-=-=-=-=ξξηE E E 故,抽奖人获利的期望为-75。

10.甲乙两人独立解某一道数学题,已知该题被甲独立解出的概率为0.6,被甲或乙解出的概率为0.92. (1)求该题被乙独立解出的概率;(2)求解出该题的人数ξ的数学期望和方差.答案:解:(1)记甲、乙分别解出此题的事件记为A 、B. 设甲独立解出此题的概率为P 1,乙为P 2. 则P (A )=P 1=0.6, P(B)=P 2222()(0 1.4)0.08(1 1.4)0.44(2 1.4)0.480.15680.07040.17280.4V ξ=-⨯+-⨯+-⨯=++=,或利用22()()() 2.36 1.960.4V E E ξξξ=-=-=。

【作业本】A 组1.袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5,从中任取3球,以X 表示取出球的最大号码,则E (X )等于 ( )A 、4B 、5C 、4.5D 、4.75答案:C故E (X )=32.下列函数是正态分布密度函数的是 ( ) A .()σσπ2221)(r x ex f -=B .2222)(x e x f -=ππC .()412221)(-=x ex f πD .2221)(x e x f π=答案:B 。

解析:选项B 是标准正态分布密度函数。

3.正态总体为1,0-==σμ概率密度函数)(x f 是 ( ) A .奇函数 B .偶函数 C .非奇非偶函数 D .既是奇函数又是偶函数 答案:B 。

解析:22()x f x -=。

4.已知正态总体落在区间()+∞,2.0的概率是0.5,那么相应的正态曲线在=x 时达到最高点。

答案:0.2。

解析:正态曲线关于直线x μ=对称,由题意知0.2μ=。

5.一次英语测验由40道选择题构成,每道有4个选项,其中有且仅有一个是正确的,每个选对得3分,选错或不选均不得分,满分120分,某学生选对一道题的概率为0.7,求该生在这次测验中的成绩的期望为 ;方差为 。

答案:84;75.6。

解析:设X 为该生选对试题个数,η为成绩,则X ~B (50,0.7),η=3X ∴E(X)=40×0.7=28 V(X)=40×0.7×0.3=8.4故E(η)=E(3X)=3E(X)=84 V(η)=V(3X)=9V(X)=75.66.某人进行一个试验,若试验成功则停止,若实验失败,再重新试验一次,若试验三次均失败,则放弃试验,若此人每次试验成功的概率为32,求此人试验次数X 的分布列及期望和方差。

解:X 的分布列为故22113()1233999E X =⨯+⨯+⨯=,22211338()149()399981V X =⨯+⨯+⨯-=。

7.甲、乙两名射击运动员,甲射击一次命中10环的概率为0.5,乙射击一次命中10环的概率为s ,若他们独立的射击两次,设乙命中10环的次数为X ,则EX=34,Y 为甲与乙命中10环的差的绝对值.求s 的值及Y 的分布列及期望.答案:解:由已知可得),2(~s B X ,故32,342===s s EX 所以.有Y 的取值可以是0,1,2.甲、乙两人命中10环的次数都是0次的概率是361)31()21(22=⨯,甲、乙两人命中10环的次数都是1次的概率是92)32313132)(21212121(=⨯+⨯⨯+⨯,甲、乙两人命中10环的次数都是2次的概率是91)3232)(2121(=⨯⨯所以36139192361)0(=++==Y P ; 甲命中10环的次数是2且乙命中10环的次数是0次的概率是361)31()21(22=⨯,甲命中10环的次数是0且乙命中10环的次数是2次的概率是91)3232)(2121(=⨯⨯所以36591361)2(=+==Y P ,故21)2()0(1)1(==-=-==Y P Y P Y P所以 Y 的期望是E (Y )=9。

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