二项分布1．n次独立重复试验一般地，由 n 次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即 A 与 A ，每次试验中P( A) p0 。
我们将这样的试验称为n 次独立重复试验，也称为伯努利试验。
（1）独立重复试验满足的条件第一：每次试验是在同样条件下进行的；第二：各次试验中的事件是互相独立的；第三：每次试验都只有两种结果。
（ 2 ）n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率P( X k) C n k p k (1p) n k。
2．二项分布若随机变量X的分布列为P( X k ) C n k p k q n k，其中0 p 1.p q 1,k 0,1,2,L ,n, 则称 X 服从参数为 n, p 的二项分布，记作X : B(n, p) 。
1．一盒零件中有9 个正品和 3 个次品，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数X 的概率分布。
3. 甲乙两人各进行 3 次射击，甲每次击中目标的概率为1，乙每次击中目标的概率为2.2 3（1）记甲击中目标的此时为，求的分布列及数学期望；（2）求乙至多击中目标 2 次的概率；（3）求甲恰好比乙多击中目标 2 次的概率 .【巩固练习】1.（2012 年高考（浙江理））已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球 , 且规定 : 取出一个白球的 2 分, 取出一个黑球的 1 分 . 现从该箱中任取( 无放回 , 且每球取到的机会均等 )3 个球 , 记随机变量X为取出 3 球所得分数之和 .( Ⅰ) 求X的分布列 ;( Ⅱ) 求X的数学期望E( X).2．（2012 年高考（重庆理））( 本小题满分 13 分 ,( Ⅰ) 小问 5 分,( Ⅱ) 小问 8 分.)甲、乙两人轮流投篮 , 每人每次投一球 ,. 约定甲先投且先投中者获胜, 一直到有人获胜或每人都已投球 3 次时投篮结束 . 设甲每次投篮投中的概率为影响 . 13,乙每次投篮投中的概率为 12,且各次投篮互不( Ⅰ) 求甲获胜的概率 ;( Ⅱ) 求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望3．设篮球队A与B进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜4 场则比赛宣告结束，假定A, B 在每场比赛中获胜的概率都是 1 ，2 试求需要比赛场数的期望．3．（2012 年高考（辽宁理））电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况, 随机抽取了100 名观众进行调查 .下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图 ;将日均收看该体育节目时间不低于40 分钟的观众称为“体育迷”.( Ⅰ) 根据已知条件完成下面的列联表, 并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关 ?( Ⅱ ) 将上述调查所得到的频率视为概率. 现在从该地区大量电视观众中 , 采用随机抽样方法每次抽取 1 名观众 , 抽取 3 次, 记被抽取的 3 名观众中的“体育迷”人数为 X.若每次抽取的结果是相互独立的, 求X的分布列 , 期望和方差 .5.（2007 陕西理）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为 4 、3 、2 ，且各轮问题能否正确回答互不影响 .5 5 5（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率；（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数数期望 . （注：本小题结果可用分数表示6.一批产品共 10 件，其中 7 件正品， 3 件次品，每次从这批产品中任取一件，在下述三种情况下，分别求直至取得正品时所需次数的概率分别布 .(1) 每次取出的产品不再放回去；（2）每次取出的产品仍放回去；（3）每次取出一件次品后，总是另取一件正品放回到这批产品中.7. （2007?山东）设 b 和 c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程 x2+bx+c=0 实根的个数（重根按一个计）．（I）求方程 x2+bx+c=0 有实根的概率；（I I ）求ξ的分布列和数学期望；8.（本题满分 12 分）某商场为吸引顾客消费推出一项优惠C A 60活动 . 活动规则如下：消费额每满 100 元可转动如B 图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置 . 若指针停在 A 区域返券 60 元；停在B 区域返券 30 元；停在 C区域不返券 . 例如：消费 218 元，可转动转盘 2 次，所获得的返券金额是两次金额之和 .（I）若某位顾客消费 128 元，求返券金额不低于 30 元的概率；（I I ）若某位顾客恰好消费 280 元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为（元），求随机变量的分布列和数学期望 .9.( 本题满分 12 分) 中国?黄石第三届国际矿冶文化旅游节将于 2012 年 8 月 20 日在黄石铁山举行，为了搞好接待工作，组委会准备在湖北理工学院和湖北范学院分招募8 名和 12 名志愿者，将 20名志愿者的身高成如下茎叶（位：cm）若身高在 175cm以上（包括 175cm）定“高个子” ，身高在175cm以下（不包括 175cm）定“非高个子”，且只有湖北范学院的“高个子”才能担任“兼游” 。
（1）根据志愿者的身高茎叶指湖北理工学院湖北师范学院出湖北范学院志愿者身高的中位数；9 15 8 9（2）如果用分抽的方法从“高9 16 1 2 5 8 9个子”和“非高个子”中抽取 5 人，再从 6 5 0 17 3 4 65 人中 2 人，那么至少有一人是“高7 2 18 0 11 19个子”的概率是多少？（3）若从所有“高个子”中 3 名志愿者，用表示所志愿者中能担任“兼游”的人数，写出的分布列，并求的数学期望。
10. 某品按行生准分成8 个等，等系数X 依次1,2 ，⋯⋯， 8，其中 X≥5 准 A，X≥3 准 B，已知甲厂行准 A 生品，品的零售价 6 元/ 件；乙厂行准B生品，品的零售价 4 元/ 件，假定甲、乙两厂得品都符合相的行准（I ）已知甲厂品的等系数X 的概率分布列如下所示：1x1 5 6 7 8P0．4a b0． 1且 X1的数字期望 EX1=6，求 a，b 的值；（II ）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 3 46 3 47 5 3 48 5 38 3 4 3 4 4 7 5 67用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望 .11.受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为 2 年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取 50 辆，统计书数据如下：将频率视为概率，解答下列问题：（ I ）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；（I I ）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为，生产一辆乙品牌轿车的利润为，分别求，的分布列；（I II ）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由。
巩固练习答案1.【解析】本题主要考察分布列 , 数学期望等知识点 .( Ⅰ) X 的可能取值有:3,4,5,6.C 3 5; C 2C1 20;P (X 3)5P( X 4)5 4C 3 42 C3 429 9P (X 5) C51C42 15; P( X 6) C43 2. C3 42 C 3 429 9故, 所求X的分布列为X 3 4 5 6P 5 20 10 15 5 2 1 42 42 21 42 14 42 21( Ⅱ) 所求X的数学期望E( X) 为:613 .E( X)= i P( X i)i 4 3【答案】( Ⅰ) 见解析 ;( Ⅱ)13 .32.【考点定位】本题考查离散随机变量的分布列和期望与相互独立事件的概率 , 考查运用概率知识解决实际问题的能力, 相互独立事件是指两事件发生的概率互不影响, 注意应用相互独立事件同时发生的概率公式 .解: 设 A k , B k 分别表示甲、乙在第 k 次投篮投中 , 则P A k1, P B k1 ,k 1,2,332(1) 记“甲获胜”为事件 C,由互斥事件有一个发生的概率与相互独 立 事 件 同 时 发 生 的 概 率 计 算 公 式知, P C P A 1P A 1 B 1 A 2 P A 1 B 1 A 2 B 2 A 3P A 1 P A 1 P B 1 P A 2 P A 1 P B 1 P A 2 P B 2 P A 31 2 1 1 2 22113 3 2 3 3 2311113 3 9 2727(2) 的所有可能为 : 1,2,3由独立性知 : P1P A 1P A 1B 11 2 1 23 3 232 1 1 21 2P2 P A 1 B 1 A 222P A 1 B 1 A 2 B 22 3329321 2P3 P A 1 B 1 A 2 B 2213 2 9综上知 , 有分布列123P22 1399从而 , E 122 23 1 13( 次)39 993. 解：（1）事件“ X 4 ”表示， A 胜 4 场或 B 胜 4 场（即 B 负 4 场或 A 负 4 场），且两两互斥．P( X 4) C 44 (1)4( 1 )0C 40( 1)0( 1)42 ； 222216（2）事件“ X5”表示， A 在第 5 场中取胜且前 4 场中胜 3 场，或 B 在第 5 场中取胜且前 4 场中胜 3 场（即第 5 场 A 负且 4 场中 A 负了 3 场），且这两者又是互斥的，所以131 3 1 43111 1 1 4 1 4P( X 5)2 C 4 ( 2) ( 2) 2 C4 ( 2 ) ( 2) 16（3）类似地，事件“ X 6 ”、 “ X 7 ”的概率分别为P( X 6)1 C 53 ( 1 )3 (1 )5 3 1 C 52 ( 1 )2 (1 )5 25 ，2 2 2 2 2 2 16 P( X 7)1 C 63 ( 1 )3 ( 1) 6 3 1 C 63 ( 1)3 (1 )6 3522222 216比赛场数的分布列为X456724 5 51616 1616P故比赛的期望为 E( X ) 42 45 5 （场） 165675.8125161616这就是说，在比赛双方实力相当的情况下，平均地说，进行6场才能分出胜负．4. 【答案及解析】(I) 由频率颁布直方图可知 , 在抽取的 100 人中 , “体育迷”有 25人, 从而 2×2 列联表如下 :由 2×2 列联表中数据代入公式计算 , 得:因为 <, 所以 , 没有理由认为“体育迷”与性别有关 .(II) 由频率颁布直方图知抽到 “体育迷” 的频率为 , 将频率视为概率, 即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为 , 由题意 ,,从而 X 的分布列为 :【点评】本题主要考查统计中的频率分布直方图、独立性检验、离散型随机变量的分布列, 期望和方差 , 考查分析解决问题的能力、运算求解能力 , 难度适中 . 准确读取频率分布直方图中的数据是解题的关键 .5.（Ⅰ）解法一：记“该选手能正确回答第 i 轮的问题”的事件为A i (i 1，2，3) ，则 P( A1 ) 4， P( A2 )3， P( A3 ) 2 ，5 5 5该选手被淘汰的概率P P( A1 A1 A2 A2 A2 A3 ) P( A1 ) P( A1 )P( A2 ) P(A1) P( A2 )P( A3 )1 42 43 3 101 ．5 5 5 5 5 5 125（Ⅰ）解法二：记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为A i (i 1，2，3) ，则 P( A1 ) 4， P( A2 )3， P( A3 ) 2 ．5 5 5该选手被淘汰的概率P 1 P( A1 A2 A3 ) 1P( A1 )P( A2 )P( A3 )4 3 215 5 5 （Ⅱ）的可能值为101．12512，，3，P( 1) P( A1) 1 ，5P( 2) P( A1 A2 ) P( A1 )P( A2 ) 4 2 8 ，5 5 25P( 3) P( A1A2 ) P( A1 )P( A2 ) 4 3 12 ．5 5 25的分布列为12 3P1 8 1252525E1 1 28 3 12 57 ．52525 256. （1） X 的所有可能 1，2，3，4。