求曲线方程的常用方法
1． 直接法——若动点的运动规律就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确易于表
达，则可根据已知（或可求）的等量关系直接列出方程的方法。

2． 定义法——利用二次曲线的定义求轨迹方程。

（1） 若平面上的动点P(x,y)满足条件：11||||PF PF +=定长2a ，且122||a F F >(F 1F 2
为定点)，那么P 点的轨迹为以F 1、F 2为焦点的椭圆。

故只须选择恰当的坐标系，
就可直接写出椭圆的方程。

（2） 若平面上的动点P(x,y)满足条件：11||||||PF PF -=定长2a ，且122||a F F <(F 1F 2
为定点)，那么P 点的轨迹为以F 1、F 2为焦点的双曲线。

当122||a F F =时，P
点的轨迹为射线；如果不含绝对值，那么轨迹是一支双曲线或一条射线。

故只
须选择恰当的坐标系，依双曲线的定义，就可直接写出椭圆的方程。

3． 代入法（或称相关点法）——有时动点P 所满足的几何条件不易求出，但它随另一动点
P ’的运动而运动，称之为相关点，若相关点P ’满足的条件简单、明确（或P ’的轨迹方程已知），就可以用动点P 的坐标表示出相关点P ’的坐标，再用条件把相关满足的轨迹方程表示出来（或将相关点坐标代入已知轨迹方程）就可得所求动点的轨迹方程的方法。

4． 几何法——利用平面几何的有关知识找出所求动点满足的几何条件，并写出其方程的方
法。

5． 参数法——有时很难直接找出动点的横纵坐标间的关系，可选择一个（有时已给出）与
所求动点的坐标x,y 都相关的参数，并用这个参数把x,y 表示出来，然后再消去参数的方法。

如：遇求两动直线的交点的轨迹方程问题，可适当引进参数（如斜率、截距等），写出两动直线的方程，然后消去参数就得到所求的两动直线的交点的轨迹方程，这种方法又称交轨法，其关键有二：一是选参，要容易写出动直线的方程；二是消参，消参的途径灵活多变，有时分别从两个方程中解出参数，再消参；有时分别解出x,y ，再消参；有时直接或适当变形后，通过加、减、乘、除，求平方和，求平方差等方法整体消参。

5．定义法——
注意点：求动点轨迹方程在掌握一般步骤的基础上还要注意以下两点，一选建适当的坐标系，以简化运算；二是要注意曲线图形的范围，即根据条件限定方程中变量x,y 的取值范围，将方程中不适合题意的解去掉。

思路方法技巧：
1．“直接法”求动点的轨迹方程
例1． 在正三角形ABC 内有一动点P ，已知P 到三个顶点的距离分别为|PA|、|PB|、|PC|
且满足22||||||P A P B P C =+，求动点P 的轨迹方程。

222()4(0(2)x y a y +=<≤
例2． 互相垂直的两条直线1l 、2l 的交点为P(a,b)，长为2r 的线段MN 的两端点分别在1l 、
2l 上滑动，求线段MN 的中点Q 的轨迹。

（|PQ|=1/2|MN|222()()x a y b r -+-=） 例3． 已知一条曲线在x 轴的上方，它上面的每一个点到A(0,2) 的距离减去它到x 轴的
距离的差都是2，求这条曲线的方程。

21(0)8
y x x =≠ 例4． 求点P 到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1的点的轨迹方程。

216y x =
2．“代入法”求动点的轨迹方程
例5． 已知一条长为6的线段两端点A 、B 分别在x 、y 轴上滑动，点M 在线段AB 上，且:1:2AM MB =，求动点M 的轨迹方程。

22
116()4
x y += 变式：将上述滑线部分改为：求线段AB 的中点M 的轨迹方程。

（229x y +=）
例6． 已知定点A(3,0)，P 是单位圆221x y +=上的动点，AOP ∠的平分线交PA 于M ，
求M 点的轨迹方程。

（2239()416x y -+=
） 3.“参数法”求动点的轨迹方程
例7． 过点P(2,4)作两条互相垂直的直线1l 、2l ，若1l 交x 轴于A 点、2l 交y 轴于B 点，
求线段AB 的中点M 的轨迹方程。

（x+2y-5=0）
4．“几何法”求动点的轨迹方程
例8． 已知ΔABC 的顶点A 是定点，边BC 在定直线l 上滑动，|BC|=4，BC 边上的高为3，
求ΔABC 外心M 的轨迹方程。

（2650x y -+=）
例9． 到定点A(0,0)和B(2,4)距离之和为5的点的轨迹方程是4(03)3
y x x =≤≤ 例10． 动点P 到直线l ：3x-2y+1=0及定点A(1,2)距离相等，则P 点的轨迹方程为2380x y +-=
5．“定义法”求动点的轨迹方程
例11． 在ΔABC 中，若B 、C 的坐标分别是(-2,0)和(2,0)，中线AD 的长度是3，求点A 的
轨迹方程。

22
9(0)x y y +=≠
例12． 线段AB 的长度是10，它的两个端点分别在x 轴、y 轴上滑动，则AB 中点P 的轨
迹方程。

2225x y +=
例13． 动点P 到点(1,-2)的距离为3，求动点P 的轨迹方程。

22(1)(2)9x y -++=
例14． 已知B 、C 是两个定点，|BC|=6，且ΔABC 的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程。

22
(1(0))2516
x y y +=≠ 例15． 在C ：22
(1)25x y ++=内有一点A(1,0)，Q 为圆周上任一点，AQ 的垂直平分
线与QC 的连线的交点为M,求点M 的轨迹方程。

（22
12521
44
x x +=） 例16． 一动圆与已知圆1O ：22(3)1x y ++=外切，圆2O ：22(3)81x y -+=内切，试求
这动圆圆心的轨迹方程。

（22
12516x y +=）。