1试根据下标记号法和求和约定展开下列各式（式中i 、j = x 、y 、z ）：① ij ij σε ； ② j i x '；2在物体内某点，确定其应力状态的一组应力分量为：x σ= 0，y σ= 0，z σ=0，xy τ= 0，yz τ=3a ，zx τ=4a ，知0a >。

试求：1 该点应力状态的主应力1σ、2σ和3σ；2 主应力1σ的主方向；3主方向彼此正交；解：由式（2—19）知，各应力不变量为、，代入式（2—18）得：也即 （1）因式分解得：（2）则求得三个主应力分别为。

设主应力与xyz 三坐标轴夹角的方向余弦为、 、 。

将 及已知条件代入式（2—13）得：（3）由式（3）前两式分别得：（4）将式（4）代入式（3）最后一式，可得0=0的恒等式。

再由式（2—15）得：则知；（5）同理可求得主应力的方向余弦、、和主应力的方向余弦、、，并且考虑到同一个主应力方向可表示成两种形式，则得：主方向为：；（6）主方向为：；（7）主方向为：；（8）若取主方向的一组方向余弦为，主方向的一组方向余弦为，则由空间两直线垂直的条件知：（9）由此证得主方向与主方向彼此正交。

同理可证得任意两主应力方向一定彼此正交。

3一矩形横截面柱体，如图所示，在柱体右侧面上作用着均布切向面力q，在柱体顶面作用均布压力p。

试选取：3232ϕ=++++y Ax Bx Cx Dx Ex()做应力函数。

式中A、B、C、D、E为待定常数。

试求：（1）上述ϕ式是否能做应力函数；（2）若ϕ可作为应力函数，确定出系数A、B、C、D、E。

（3）写出应力分量表达式。

（不计柱体的体力）解：据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压，即：；由此可知应力函数可取为：（a）将式（a）代入，可得：(b)故有：； (c)则有：； (d)略去中的一次项和常数项后得：(e)相应的应力分量为：(f)边界条件：①处，，则； (g)②处，，则； (h) ③在y = 0处，，，即由此得：，再代入式（h）得：；由此得：（i）由于在y=0处，，积分得： （j ） ，积分得：（k ）由方程(j ) (k)可求得：，投知各应力分量为：(l)据圣文南原理，在距处稍远处这一结果是适用的。

4 一杆件在竖向体力分量F y （F y =常量，指向朝下）的作用下，其应力分量分别为： （平面应力问题）21=+==z y x C y C σσσ00===zx yz xy τττ 以上各式中的C 1、C 2为待定常数。

试根据图示杆件的边界条件和平衡微分方程确定系数 C 1 和C 2 。

解：首先将各应力分量点数代入平衡微分方程，则有：得：显然，杆件左右边界边界条件自动满足，下端边界的边界条件为：， ， ， ， 。

即：或：5 试说明下列应变状态是否可能存在：222()00000ij c x y cxy cxy cy ε⎡⎤+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（,,,i k x y z =） 上式中c 为已知常数，且0c ≠。

解：已知该点为平面应变状态，且知：k 为已知常量。

则将应变分量函数代入相容方程得：2k+0=2k 成立，故知该应变状态可能存在。

6一很长的（沿z 轴方向）直角六面体，上表面受均布压力 q 作用，放置在绝对刚性和光滑的基础上，如图所示。

若选取ϕ＝ay 2做应力函数。

试求该物体的应力解、应变解和位移解。

（ 提示：① 基础绝对刚性，则在x ＝ 0处，u ＝ 0 ； ② 由于受力和变形的对称性，在y ＝ 0处，v ＝ 0 。

）解：，满足，是应力函数。

相应的应力分量为：，，； ①应力边界条件：在x = h 处，②将式①代入②得： ，故知：， ， ； ③由本构方程和几何方程得：④积分得： ⑤ ⑥在x=0处u=0，则由式⑤得，f 1(y)= 0； 在y=0处v=0，则由式⑥得，f 2(x)=0；因此，位移解为：7 已知一半径为R ＝ 50 mm ，厚度为t ＝ 3 mm 的薄壁圆管，承受轴向拉伸和扭转的联合作用。

设管内各点处的应力状态均相同，且设在加载过程中始终保持1Z zθτσ=，（采用or z θ柱坐标系，r 为径向，θ为环向，z 为圆管轴向。

）材料的屈服极限为s σ＝ 400 MPa 。

试求此圆管材料屈服时（采用Mises 屈服条件）的轴向载荷P 和轴矩M s 。

（ 提示：Mises 屈服条件：2222122331()()()2s σσσσσσσ-+-+-= ；）解：据题意知一点应力状态为平面应力状态，如图示，且知 ，则，且= 0。

代入Mises 屈服条件得：即：解得： 200 MPa ；轴力：P= = 2×50×10－3×3×10－3×200×106=188.495kN扭矩：M= = 2×502×10－6×3×10－3×200×106=9.425 kN · m8已知一点的应变状态ij ε为：4100.1-⨯=x ε，4100.5-⨯=y ε，4100.1-⨯=z ε，4100.2-⨯=xy γ，4100.2-⨯=yz γ，4100.6-⨯=zx γ。

试将其分解为球应变状态与偏斜应变状态。

解：；；9一厚壁圆筒，内半径为a ，外半径为 b ，仅承受均匀内压q 作用（视为平面应变问题）。

圆筒材料为理想弹塑性，屈服极限为s σ。

试用Tresca 屈服条件，分析计算该圆筒开始进入塑性状态时所能承受的内压力q 的值。

已知圆筒处于弹性状态时的应力解为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=222221rb a b q a r σ； 0=θτr ；⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=222221r b a b q a θσ； 0=z θτ；()θσσσ+=r z 21；0=zr τ；上式中：a ≤r ≤b 。

（16分）解：由题目所给条件知：则由Tresca 条件：知：则知：10在平面应力问题中，若给出一组应力解为：x ax by σ=+，y cx dy σ=+，xy ex fy τ=+，0===yz zx z ττσ式中a 、b 、c 、d 、e 和f 均为待定常数。

且已知该组应力解满足相容条件。

试问：这组应力解应再满足什么条件就是某一弹性力学平面应力问题的应力解。

解：应力解应再满足平衡微分方程即为弹性力学平面应力问题可能的应力解，代入平衡微分方程得：则知，只要满足条件a ＝－f ，e ＝－d ，b 和c 可取任意常数。

若给出一个具体的弹性力学平面应力问题，则再满足该问题的应力边界条件，该组应力分量函数即为一个具体的弹性力学平面应力问题的应力解。

11试根据下标记号法和求和约定展开下列各式： 1．a i b ij ; ( i , j = 1,2,3 ) 2．),,,( ; )(21z y x j i u u εi j j i ij =+=''12试根据下标记号法和求和约定展开下列各式：（变程取i ，j = 1、2、3或x 、y 、z 。

） 1. ij ij Ge S 2=2. ii e '解1、2、13已知一弹性力学问题的位移解为：222()2z x y u a μ++=；xy v a μ=；xz w a=-；式中a 为已知常数。

试求应变分量，并指出它们能否满足变形协调条件（即相容方程）。

解：将位移分量代入几何方程得：； ； ；由于应变分量是x 的线性函数，固知它们必然满足变形协调条件：14设如图所示三角形悬臂梁，只受自重作用，梁材料的容重为γ。

若采用纯三次多项式3223Ax Bx y Cxy Dy ϕ=+++ 作应力函数，式中A 、B 、C 、D 为待定常数。

试求此悬臂梁的应力解。

oyBxAγα解：将 式代入 知满足，可做应力函数，相应的应力分量为：（已知Fx ＝0，Fy=γ）边界条件：①上边界：，，，代入上式得：A ＝ B ＝0，②斜边界：，，，，则：得：；于是应力解为：15 试列出图示一变截面薄板梁左端面上的应力边界条件，如图所示。

解：左端面的应力边界条件为：据圣文南原理16 一薄壁圆筒，承受轴向拉力及扭矩的作用，筒壁上一点处的轴向拉应力为2sz σσ=，环向剪应力为θτz ，其余应力分量为零。

若使用Mises 屈服条件，试求： （16分）1） 材料屈服时的扭转剪应力θτz 应为多大？2） 材料屈服时塑性应变增量之比，即：pθεd ∶p r εd ∶p z εd ∶p r θγd ∶p rz γd ∶p z θγd 。

已知Mises 屈服条件为：()()()()[]s zrz r r z z rστττσσσσσσθθθθ=+++-+-+-21222222621解：采用柱坐标，则圆筒内一点的应力状态为：则miss 条件知：解得： ；此即为圆筒屈服时，一点横截面上的剪应力。

已知：则：由增量理论知：则：即：17已知受力物体中某点的应力分量为σx=0,σy=2a,18矩形薄板其边界条件见图，不受横向载荷(q＝0)，但在两个简支边上受有均布弯矩M，在两个自由边上受均布弯矩μM，证明：ω＝f(x)能满足一切条件，并求出挠度、弯矩和反力。

19若φ=axy3+yf1(x)+f2(x)能作为求解平面问题的应力函数，试求f1和f2。

20已知一受力物体中某点的应力状态为：20 3.5032MPa 3.520x xy xz ij yx y yz zx zy z a a a a a aσττστστττσ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ 式中a 为已知常数，且a ＞0，试将该应力张量ij σ分解为球应力张量ij m δσ与偏应力张量ij S之和。

m σ为平均应力。

并说明这样分解的物理意义。

解：球应力张量作用下，单元体产生体变。

体变仅为弹性变形。

偏应力张量作用下单元体只产生畸变。

塑性变形只有在畸变时才可能出现。

关于岩土材料，上述观点不成立。

21如图所示，楔形体OA 、OB 边界不受力。

楔形体夹角为2α，集中力P 与y 轴夹角为β。

试列出楔形体的应力边界条件。

解：楔形体左右两边界的逐点应力边界条件：当θ＝±α时， ＝0，＝0；以半径为r 任意截取上半部研究知：22如图所示一半圆环，在外壁只受sinq 的法向面力作用，内壁不受力作用。

A端为固定端，B端自由。

试写出该问题的逐点应力边界条件和位移边界条件。

（15分）yB o A xq sinθaba+b2解：逐点应力边界条件：当r＝a 时，＝0，＝0；当r ＝b时，＝qsiθ，＝0；当θ=π时，＝0，＝0；A端位移边界条件：当θ＝0 ，时，ur＝0 ，uθ＝0 ，且过A点处径向微线素不转动，即＝0；或环向微线素不转动，即=0。

23已知受力物体内一点处应力状态为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=22022000x ij σσ（Mpa ）且已知该点的一个主应力的值为2MPa 。