注：自己多改改啊，6月18日早上交。
1.在例3.2中，更精确地分析是假定悬臂梁在长度a+a 0处固定，根据实验测定a 0取h/3较合适。
并考虑变形引起的位移，取V=1/3，试求能量释放率。
解：根据题意
V EBh
a a p V EJ a a p ++=++=∆3
3030)(83)(2 试件柔度 p
V
EBh a a p c ++=∆=3
30)( 所以G I =3
22
22)3(1221h EB p h
a d d p B a c +=
2.某发电机转子在动平衡时发生断裂。
断裂后发现垂直于最大拉应力方向的一个圆形片状缺陷。
直径约在2.5~
3.8cm 之间。
缺陷处的最大拉应力为350MPa 。
试估算转子的临界裂纹尺寸。
经测定，转子材料的断裂韧度k 1c =（34~59）MPa m 。
解：缺陷处应力强度因子为
a
k πσπ
2
1=
又k 1c =（34~59）MPa m ，350=σMPa
a=（0.74~2.2）cm
所以裂纹直径为1.5~4.4cm
3.气瓶内径D=508mm ，壁厚t=35.6mm ，纵向有表面裂纹，深度a=16mm ，长度2L=508mm ，材料的屈服极限0σ=538MPa ，断裂韧度k 1c =110MPa m ，试求爆破压力。
假设为理想塑性材料，考虑塑性区修正。
解：利用半椭圆表面裂纹应力强度因子
)(/]})(241[{1.121
211k E k a k s
σππ+=
=c a 254
16=0.063 ，查表得)(k E =1.008 21
211]})(241[{1.1)
(s
c k
a k E k σππσ+=
=21)]}8.53110(24116[{1.1110008.1ππ+
⨯=14.2 kg/mm 2
又t PD 2=
σ
所以P=D t σ2=508
6
.352.142⨯⨯=1.99kg/mm 2
4.高硅的镍铬钼钒钢的回火温度与屈服极限0σ和断裂韧度k 1c 的关系见下表。
现有表面裂纹，深度a=1mm 深长比a/2c=1/4,设工作应力σ=0.60σ，试选择合适的回火温度，假定为理想塑性材料，考虑塑性区修正。
回火温度 ℃
屈服极限 MPa
断裂韧度k 1c MPa m
工作应力
σ=0.60σ
257 1746 52 1048 500 1363 60 818 600
1471
99
883
解：a/c=1/2,查表得E （k ）=1.21 按照平面应变考虑塑性区影响有
)
(])60
6(2411[621
2k E a
k I -=
π 当回火温度为257℃时，1I k =50.2，1
1
1I Ic k k n =
=1.04 当回火温度为500℃时，2I k =39.2，2
2
2I Ic k k n =
=1.53 当回火温度为600℃时，3I k =43.3，3
3
3I Ic k k n =
=2.34 可得n 3>n 2>n 1，所以600℃为合适的回火温度。
5.对于幂硬化裁量，试根据公式（5.42）导出应力强度因子，考虑塑性区影响的修正公式。
当n=4时对5.2中MPa 5000=σ的情况，具体计算y γ和*
I k ，及应力强度因子提高的百分比。
解：已知
*I k =)(0γπσ+a Y
又因为幂硬化材料
))(11(210
*
σπγI y k n n +--
得：
2
1202
*
))(11(21/⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡+--=σσπσn n Y a Y k I
根据例5.2中的相关参数取值可知：
mm
a n n k n n I y 2.100117.0)500108350)(1414(21))(11(21))(11(212
32020≈=⨯+-=+-=+-=-ππσπσπσπγm
MPa n n Y a Y k I
60)500350(53211/108350))(11(21/2
1
230
2
1202
*
=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⨯-⨯=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+--=-πσσπσ%810
83501083506033
*=⨯⨯⨯⨯⨯⨯-=---ππI I I k k k
6.某合成塔内径mm d 1010=，壁厚t=85mm ，由十一层层板与内筒组合而成，每
层层板为6mm ，在层板间的纵焊缝上，发现许多的环向裂纹，其中最大的2c=42mm 。
容器的设计压力2
/320cm kg P =，试计算同期开裂时的临界裂纹长度。
层板钢材为
VB M M n --014，测得mm c /06.0=σ，20/72mm =σ，材料的弹性模量
24/101.2mm kg E ⨯=。
对容器上存在的环向裂纹，鼓胀效益因子2
1
2
561⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-+=Rt a M 。
解：
临界裂纹长度⎪
⎪⎭⎫
⎝
⎛=
0026sec 8σπγσδπM E a n c
c
由题意可得2
12
56
1⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡-+=Rt a M 得：mm a c 35.89=
7．试着证明在给定位移情况下的载荷以及给定载荷情况下的位移可分别表示为：
A A
l
d p p ⎰
∆∂∂-=0
0 和⎰∂∂-∆=∆A A p
l d 00
其中，A 为裂纹面积，0p ，0∆为无裂纹时的载荷和位移。
证明：给定位移的情况下有：
⎰∆
∆∂∂-=0
)(
d l a
p
等式两边对∆求偏导
a
p l
∂∂-
=∂∂∆ 等式两边求积分有
A A l a
A A l a a a p A A
l d p p p p P d d d ⎰⎰⎰⎰
∆
∆∆∂∂-=⇒-=-=∂∂⇒∂∂-=∂∂0000000
给定载荷的情况下有
p p
a
d l ⎰
∂∂=∆
即⎰
∂∂-
∆=∆A
A p
l
d 0
0 8.薄臂圆管受扭矩M 。
半径为R 壁厚为t ，在圆管上有长度为2a 的斜裂纹，与管轴线夹角为β，已知材料的泊松比ν和断裂韧度c I k 。
试着按断裂力学中的经验断裂准则，对于给定的裂缝半长a ，确定临界扭矩Mc ，对于给定的扭矩M 确定临界裂纹尺寸c a 。
解：
由题意得0'
'==y x σσ，t
R M
W M 22πτ-=-
=
βπβπτβπσσσσσ2sin 2)2(2sin )(2cos 2
2
2
'
/
'
/
t
R M y
x y
x x =----+
+=
βπβπτβπσσσσσ2sin 2)(2sin )cos(2
2
2
'
/
'
/
t
R M
y
x y
x y -
=----+
+=
βπβπτβπσσσ2cos 2)2(2cos )2(2sin 2
2'
/
t
R M y
x xy =-+--=
那么
βπππσ2sin 22
a t R M
a k x I =
= βπππσ2cos 22
a t
R M a k xy
II == 根据经验断裂准则可得
c I I I I k a
k k k =+
=∏
- 即)/2cos 2(sin 22
a t
R a
M k C I ββππ+=
所以1）当给定a 时，)
/2cos 2(sin 22a a tK R M C
I c ββππ+=
2）当给定M 时，2
2
)/2cos 2(sin 21⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡
+=
a M tK R a C I c ββππ。