弹塑性断裂力学在本文总共分四部分，第一部分断裂力学习题，第二部分为断裂力学在岩石方面的研究及应用，第三部分为断裂力学的学习总结，第四部分为个人总结及建议。

一、断裂力学习题1、某一合金构件，在275℃回火时，01780MPa σ=，52k K MPa m =，600℃回火时，01500MPa σ=，100Ic K MPa m =，应力强度因子的表达式为1.1I K a σπ=，裂纹长度a=2mm ，工作应力为00.5σσ=。

试按断裂力学的观点评价两种情况下构件的安全性。

（《断裂力学》 徐振兴 湖南大学出版社 P7）解：由断裂失稳判据K<错误！未找到引用源。

c ，临界条件K=错误！未找到引用源。

c 且a=2mm ，工作应力0=0.5σσ错误！未找到引用源。

， 1.1I K a σπ=得在275℃回火时，152Ic K MPa m =，得111.117800.50.00277.6I Ic K MPa m K π=⨯⨯⨯⨯=> 在600℃回火时，2100Ic K MPa m =，得221.115000.50.00265.4I Ic K MPa m K π=⨯⨯⨯⨯=<由断裂准则可知，在275℃时K ＞错误！未找到引用源。

c ，即裂纹会发生失稳破坏；在600℃回火时K<错误！未找到引用源。

K c ，即裂纹不会发生失稳破坏。

2、有一长50cm 、宽25cm 的钢板，中央有长度2a =6cm 的穿透裂纹。

已知材料的K Ic =95MPa m ，其屈服强度为ys δ=950MPa 。

试求裂纹起裂扩展时的应力。

（《工程断裂力学》 郦正能 北京航空航天大学出版社 P51）解：（1）不考虑塑性区修正，但考虑有限宽度修正()121 sec 0.03 0.03sec 0.25 0.307 1.036a K W πασπαπσπσ⎛⎫= ⎪⎝⎭⨯⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭=⨯⨯()c c 95 299I b K MPa σ===令 K 得（2）考虑塑性区修正及有限宽度修正()12F=seca W πα⎛⎫⎪⎝⎭，当α=3cm 时，F =1.036此值很小，当α略有增加时（例如考虑塑性的影响）F 变化极小，故可认为F 为常数，可应用式（2.102）解K I ，得K I =296MPa从上面的计算结果，考虑塑性区修正以后，断裂应力并没有很大变化，只降低约1%。

3、一尺寸很大的矩形薄板上有一长度为2a 的裂纹。

外加应力为σ=600MPa ，已知薄板材料的E=200GPa ，900ys σ=MPa ，c δ=0.2mm 。

问允许的裂纹长度为多少？（《工程断裂力学》 郦正能 北京航空航天大学出版社 P154）解：（1）9000.0045200000ys e ==（2）600/0.667900ys e e == （3）因为/0.5,ys e e >要用式（4.74）第二式 =0.250.4172ys ysee e δφπα=-= 得到=20.4170.0117y e δπαα⨯= （4）由=0.2c δδ=得到 0.2==17.10.0117αmm 所以容许的裂纹长度为2α=34.2mm 。

4、压力容器所用材料的强度极限b σ=2100MPa ，断裂韧度K Ⅰc =38MPa m ，厚度与平均直径之比t/D=1/15，设有2a=3.8mm 的纵向穿透裂纹，如图所示。

试求破坏时的临界压力。

（《断裂力学》 徐振兴 湖南大学出版社 P42）解：因为t/D=1/15远远小于1，按照断裂准则：1σ=2PDtIC K =1σa π 按照材料力学中的第四强度理论：1σ2PD t =152P = ， 2σ4PD t=154P= ，3σ0=4r σ1212232313131[()()()()()()]2σσσσσσσσσσσσ=--+--+-- 1151515151515()2444422P P P P P P =⨯+⨯+⨯ 1534P=2100= 1σ=IC K aπ错误！未找到引用源。

=2PDtP =2IC t K D aπ⨯=2⨯115⨯383.140.0019⨯=65.6MPa P=323.3MPa5、 设有无限长板条，高为2h ，在无应力状态下，是上下边界产生位移0υυ+=，然后予以固定，有一半无限长裂纹，假设为平面应变情况，在y h =+处，u=0。

试计算能量释放率和强度因子。

（《断裂力学》 徐振兴 湖南大学出版社 P54）σ2tD pσ1 σ1解：对于平面应变问题，有()[]01=+-=y x z z v Eσσσε，则y z v σσ= ()[]y z x y y Ev v E σσσσε211-=+-=，则y y v E εσ21-= 应变能密度为：2022212112121⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==h v E v E W y y y υεεσ 裂纹扩展时，在裂纹尖端后方足够远处，应力近似为零。

释放的应变能为：h W A U 2⋅⋅∆=∆。

能量释放率为：hv E h W A U G A I 22012lim υ-=⋅=∆∆=→∆ 由于，21I I K E G =，强度因子为：()h v E G v E K I I 2021211-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=υ6、试求受单向均匀拉伸的“无限大”平板中斜裂纹的裂尖应力强度因子。

（《断裂力学》 丁遂栋 机械工业出版社 P69）aaβ解：因为载荷与裂纹倾斜，故裂纹同时受到张开和错开两种作用，属于0υxyhh 0υσσⅠ、Ⅱ复合型裂纹问题。

取解析函数 ()()21=4i e βσαϕηη-—于是 ()()221'4i e βσαϕηη-=则 ()()21=14i e βσαϕ-代入式 2'(1)K πϕα= ，得 ()()22141cos 2sin 22i I II K K iK e i βπσαασπαββ=-=-=--于是()21cos 2sin 2sin 2cos sin 2I II K K σπαββσπασπαβββσπα=-=⋅==⋅由上式知若β=90°则 =,0I II K K σπα= 若β=0°则 0I II K K ==再一次证明了裂纹线方向的载荷对裂尖应力强度因子无影响。

7、有一对集中力P 作用在上下裂纹面上如图示， 应力函数12221222()()()r P a b Z z b z a π-=--，试分析裂纹扩展的稳定性。

（《断裂力学》 徐振兴 湖南大学出版社 P90）Pyxb P2ao解：由应力函数，通过平移坐标ξ=Z-a 得1222122()()()(2)r P a b Z a b a ξπξξξ-=+-+，得1122221022()lim 2()()(2)I P a b Pa b K a b a a b a ξπξππξξξ→++==-+-+ 对于给定载荷情况，M C →∞，[]P KP a∂=∂,()()''f a K a =， 而12()Pa b K a ba π+=-∴312222[][]()2()r P K K K P a b Pa a a ab a a a b ππ-∆∂∂∂+-==+<∂∂-∂- ∴裂纹扩展情况稳定8、对于I 型裂纹，应力强度因子为I K a σπ=，已知31IC K MPa m =，0980MPa σ=，平面应力状态，试按照COD 准则，分别根据Irwin 的塑性区假设和Dugdale 模型，画出临界裂纹长度c a 随0/σσ的变化曲线。

（《断裂力学》 徐振兴 湖南大学出版社 P100）解：根据Irwin 的塑性区假设，临界裂纹长度204I c K a E πσ=，由平面应力状态分析得()244,=I c c K E E σασασαασσσπα∞∞∞∞=⇒=⋅又4Ic aK a E a σσπ∞⇒=根据Dugdale 模型，临界裂纹长度2()c a a E πσσσ∞==0c Eσπασασ∞∞⇒=⋅由于0σσ∞<1，故作图如右：σc aIrwin 假设曲线Dugdale 假设曲线9、某种合金钢，在不同回火温度下，测得力学性能如下： 375℃回火，1780s σ=MPa ，c I K =52MPa ⋅m600℃回火，1500s σ=MPa ，c I K =100MPa ⋅m设应力强度因子为 1.1I K σπα=,且工作应力=0.5s σσ试求两种回火温度下构件的容限裂纹尺寸αc 。

（《断裂力学》 丁遂栋 机械工业出版社 P92）解：当I Ic K K =时，对应的裂纹尺寸即为αc ，故21 1.1Ic c K απσ⎛⎫= ⎪⎝⎭对275℃回火，21520.0009m=0.9mm 1.10.51780c απ⎛⎫== ⎪⨯⨯⎝⎭对600℃回火，211000.0046m=4.66mm 1.10.51500c απ⎛⎫== ⎪⨯⨯⎝⎭从强度指标看，275℃回火温度的合金钢，其强度高于600℃回火温度的合金钢，但从断裂韧度指标看275℃回火温度的合金钢要比600℃回火温度下的合金钢低得多。

事实上构件中0.9mm 的裂纹是难以避免的，因此，从全面考虑，应该选用600℃回火温度。

10、设有无限长板条，高为2h ，有一半无限长裂纹。

在无应力状态下，上、下边界产生的位移0v v =±，然后予以固定。

及外设为平面应力状态，材料的弹性模量为E ，上、下边界处，x 方向的位移u 不受约束，试选取适当的积分回路，计算J 积分。

（《断裂力学》 徐振兴 湖南大学出版社 P117）解：C 1，C 5上W=0.C 1，C 5上的积分为0 C 2，C 4上C v u d y ===,0 C 2，C 4上的积分为0 对于C 3上的积分1,0,,0,0x y y s x xy y n n d d στσ=====≠因此0x y T T ==20,01hy hx xy z y y J Wd hWEσσσεσ-======⎰ 即y y E σε=02020111222y ij ij y y v hv W E h v J Ehεσεσε=⎛⎫=== ⎪⎝⎭=二、断裂力学在岩石方面的研究现状及应用尽管断裂力学在航空、船舶以及压力容器等方面得到了广泛的应用，并已经直接应于指导工程设计。

但由于岩体结构与岩体力学性状的复杂性，人们往往忽略了岩体的脆性而只注重研究岩体的塑性，岩体断裂力学还处于理论研究与实验室研究与工程解释等阶段，与直接指导岩体工程实践还有一段距离。

目前岩体断裂力学的研究主要集中于两个方面，一方面是从岩石材料的角度，借用室内岩石力学试验与理论分析，研究岩体中的裂纹产生、发展以及复合现象。

另一方面是结合现场调查，从裂纹（包括断层、节理等）的分布与裂纹形态研究其成因，并进而指导工程实践。