定理(一般形式的柯西不等式) 设a1 , a2 , a3 ,, an , b1 , b2 , b3 ,, bn是实数,则
2 2 2 2 2 (a1 a2 an )( b12 b2 bn ) (a1b1 a2b2 anbb )2
当且仅当bi 0(i 1, 2,, n)或存在一个数 k , 使得ai kbi (i 1, 2,, n)时, 等号成立
证明 : (a c d )(b c d a ) (ab bc cd da )2 a b c d a , b, c , d是不全相等的正数, 不成立 b c d a (a 2 b 2 c 2 d 2 )2 (ab bc cd da )2 即 a 2 b 2 c 2 d 2 ab bc cd da
已知 a2＋2b2＝6，则 a＋b 的取值范围是____________． 1 2 1 2 【解析】 ∵(a ＋2b )[1 ＋( ) ]≥(1· a＋ 2b· ) ＝(a＋b)2 2 2
2 2 2
3 ∴(a＋b) ≤6× ＝9，∴－3≤a＋b≤3， 2
2
故 a＋b 的取值范围是[－3,3] 【名师点睛】 解此题关键在于构造因式，使其符合柯西不等
证 明: ( x 2 y 2 z 2 )(12 2 2 3 2 ) ( x 2 y 3 z ) 2 1 1 2 2 2 x y z 14 x y z 1 1 3 当 且 仅 当 即x , y , z 时 1 2 3值 14
2 2 2 2
二维形式的三角不等式
2 2 x1 y1 2 2 x2 y2 ( x1 x 2 ) 2 ( y1 y2 ) 2
2 2 2 2 2 2 三维形式的三角不等式 x1 y1 z1 x2 y2 z2
( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 ( z1 z2 )2
2 2 2 2 2 2 2 2
P 41 6. 设x1 , x 2 ,xn R , 且x1 x2 xn 1,
2 2 2 x1 x2 xn 1 求 证: 1 x1 1 x2 1 xn n 1
2 2 2 x1 x2 xn 证 明: ( n 1) ( ) 1 x1 1 x2 1 xn 2 2 x1 x2 (1 x1 1 x2 1 xn ) ( 1 x1 1 x2 2 xn x1 x2 ) ( 1 x1 1 x2 1 xn 1 x1 1 x2
4.设实数x , y满足3 x 2 2 y 2 6, 则P 2 x y的最大 值是 ______ 11
例1 已知a, b为实数 , 证明 (a 4 b4 )(a 2 b2 ) (a 3 b3 )2
例2 求函数y 5 x 1 10 2x的最大值
3．函数 y＝3sinx＋4 1＋cos2x的最大值为____________．
例1 已 知a1 , a2 , , an都 是 实 数 ,求 证 1 2 2 2 2 (a1 a2 an ) a1 a2 an n
证 明: (1 1 1 )(a a a )
2 2 2 2 1 2 2 2 n
(1 a1 1 a2 1 an )
一、二维形式的柯西不等式
定理1 (二维形式的柯西不等式 ) 若a , b, c , d都是 实数, 则 (a 2 b2 )(c 2 d 2 ) (ac bd )2 当且仅当ad bc时, 等号成立.
二维形式的柯西不等式的变式:
(1) a 2 b2 c 2 d 2 ac bd ( 2) a b c d ac bd
一般形式的三角不等式
2 2 2 x1 x2 xn 2 2 2 y1 y2 yn
( x1 y1 ) 2 ( x 2 y2 ) 2 ( x n yn ) 2
例3 已知x 2 y 3z 1, 求x y z 的最小值
2 2 2
式，此题有多种解法，比如用三角代换法求解，但过程较繁．
变式引申: 2 2 若2 x 3 y 1, 求4 x 9 y 的最小值 , 并求最小值点 .
解 : 由柯西不等式(4 x 2 9 y 2 )(12 12 ) ( 2 x 3 y )2 1, 1 2 2 4x 9 y . 2 当且仅当2 x 1 3 y 1, 即2 x 3 y时取等号. x 2 x 3 y 由 得 2 x 3 y 1 y
2 2
1 4 1 6
1 1 1 4 x 9 y 的最小值为 , 最小值点为( , ) 2 4 6
补充练习
2.已知x y 1, 那么2 x 2 3 y 2的最小值是( B ) 5 A. 6 6 B. 5 25 C. 36 36 D. 25
3 3.函数 y 2 1 x 2 x 1的最大值为 ______
3a 2b c 的最大值。
3．已知a，b，c为正实数，且a2+2b2+3c2=6，求
a+b+c的最小值。
xn 1 xn )2 ( x1 x2 xn )2 1 1 xn 2 2 2 x1 x2 xn 1 1 x1 1 x2 1 xn n 1
达标检测
1．已知a+b+c+d=1，求a2+b2+c2+d2的最小值。 2．已知a，b，c为正实数，且a+2b+3c = 9，求
2
2 2 2 n(a1 a2 an ) (a1 a2 an )2 1 2 2 2 2 (a1 a2 a n ) a1 a2 a n n
例2 已 知a , b, c , d是 不 全 相 等 的 正 数 ,证明 a 2 b 2 c 2 d 2 ab bc cd da