1 p ij 0 ,
即 p11 p12 L
p 21 p 22 L
2 p ij 1 . i1 j1
p n1 p n2 L L 1
二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为
XY
x1 x2 M
xi M
y1 y2 L yj L
p 1 1 p 1 2 L p 1j L p 2 1 p 2 2 L p 2j L
解 ( X, Y ) 所取的可能值是
(0,0), (0,1),(0,2),(1,0), (1,1), (2,0).
两P { 封X 一信 封都0 ,信Y 投 投入0 入第}第33个122 个,邮邮箱箱,另一封信投入第3个邮箱
P { X 0 ,Y 1 } P { X 1 ,Y 0 } 322
y
x1, y2
x2, y2
x1 , y1
x
x2 , y1
二、二维离散型随机变量 及其联合分布律
1. 定义 (P62)
若二维随机变量 ( X, Y ) 所取的可能值是有 限对或无限可列多对,则称 ( X, Y ) 为二维离散型 随机变量.
例如 二维随机变量( X, Y ) 表示掷两颗骰子出现 的点数, 则( X, Y )的所有可能取值为36对.
即 F(x,y)关x 于 右连 ,关续 y于 也右. 连续
4 o对 于 任 意 x 1 x 2 ,y 1 y 2 ,有
P x 1 X x 2 ,y 1 Y y 2
= F ( x 2 ,y 2 ) F ( x 1 ,y 2 ) F ( x 2 ,y 1 ) F ( x 1 ,y 1 )
• X ( )
图示
•
•Y ( )
实例1 炮弹的弹着点的 位置 ( X, Y ) 就是一个二维 随机变量.
实例2 考查某一地 区学前 儿童的发育情况 , 则儿童的 身高 H 和体重 W 就构成二 维随机变量 ( H, W ).
说明 二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与 X 、Y
有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.
2.二维随机变量的分布函数
(1)分布函数的定义 (P61-定义1)
设(X,Y)是二维随机,对 变于 量任意实 x, y数 , 二元函:数
F(x,y)P{(Xx) (Y y)}P{Xx,Y y} 称为二维随机(X变 ,Y)量 的分布函 ,或数称为随 机变X 量和Y的联合分布. 函数
Joint Probability Distribution Function
对于任意固定的y, F (,y ) liF ( m x ,y ) 0 , x
对于任意固定的x, F (x ,) liF m (x ,y ) 0 , y
y
F (, ) lim F (x,y)0,
x
y
Xx,Yy
(x, y) •
F (, ) lim F (x,y)1.
o
x
x
y
3oF(x,y)F(x0,y)F ,(x,y)F(x,y0),
i4 i1,2,3,4, j i.
于是(X,Y)的分布律为
i1,2,3,4, j i. P {X i,Yj} P { Y jX i} P { X i} 1 1 ,
i4
Y X
1
2 34
1
1 4
0
00
1
2
8
1 8
00
3
1 12
1 12
10
12
1
1
11
4
16
16
1 6 16
P63-例1
例2 将两封信随意地投入3个空邮箱,设 X, Y分别 表示第1、第2个邮箱中信的数量.求 (1) ( X,Y )的 联合分布列;(2)第3个邮箱里至少投入一封信的 概率;(3)联合分布函数在点(3/2,1/2)处的值F (3/2,1/2).
2. 二维离散型随机变量的分布律 (P62-定义2)
设二维离散型随机 (X,变 Y)所 量有可能取的
值为(xi, yj),i, j 1, 2,,记
P{X xi,Y yj} pij, i, j 1, 2,, 称此为二维离散型 变随 量(机 X,Y) 的分布,律
或随机变X量和Y的联合分布 . 律
其中,
第一节 二维பைடு நூலகம்机变量
一、二维随机变量及其分布函数 二、二维离散型随机变量 三、二维连续型随机变量 四、两个常用的分布 五、小结
一、二维随机变量及其分布函数
1.定义
设E是一个随机试验,它的样本空间是{},
设XX()和YY()是定义在上的随机变量,
由它们构成的一个向量(X,Y),叫作二维随机向量
或二维随机变量.
2, 9
P { X 1 ,Y 1 } P { X 1 ,Y 1 } 2 32
2 9
,
P { X 0 ,Y 2 } P { X 2 ,Y 0 } 1 ,
9
故所求分布律为
Y X
01 2
0 19 29 19
1 29 29
0
2 19 0
0
( 2 ) P { 第 三 个 邮 筒 里 至 少 有 一 封 信 } ＝ P { X Y 1 }
P {X0,Y0 }P {X0,Y1 }P {X1 ,Y0 }
1225 999 9
(3)F
3 2
,
1 2
P X
3 ,Y 2
1 2
PX 0,Y 0 PX 1,Y 0
1 2 1. 99 3
说明
离散型随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数归纳为
F(x,y)pij,
xixyjy
其中和式是x对 i x,一 yj 切 y的 i满 ,j求 足 .和
F(x,y)的函数值就是 在随 如机 图点 所落 示
域内的. 概率 y
(x, y) •
Xx,Yy
o
x
(2) 分布函数的性质 (P61-基本性质(1)-(4)) 1oF(x,y)是变 x和 量 y的不减 ,即函 对数 于 意固y,定 当 x2的 x1时 F(x2,y)F(x1,y), 对于任 x ,当 y 2 意 y 1 时 F ( 固 x ,y 2 ) 定 F (x ,y 1 ) 的 . 2o0F (x,y)1, 且有
p i1 p i2 L p ij L
例1设随机变 X在 量1,2,3,4四个整数中等可 取值 ,另一个随机Y在 变1量 ~X中等可能地取 整数.值 试求 (X,Y)的分布. 律 P29-(9)
解 {Xi,Yj}的取值情: 况 i1 是 ,2,3,4,
j取不大i的 于正整. 且数由乘法公式得 P {X i,Yj} P { Y jX i} P { X i} 1 1 ,