微专题：一次函数的实际应用——利润、方案问题
◆类型一利润问题
1．如图，直线l1，l2分别表示某产品一天的销售收入y1，销售成本y2与销售量x的函数关系图像．则y1与x的函数关系式为________，y2与x的函数关系式为________，当一天的销售量x________时，生产该产品才能获利．
2．(2017·河北期末)某商场欲购进果汁饮料和碳酸饮料共50箱，两种饮料每箱的进价和售价如下表所示．设购进果汁饮料x箱(x为正整数)，且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为W元(注：总利润＝总售价－总进价).
饮料果汁饮料碳酸饮料
进价(元/箱)5136
售价(元/箱)6143
(1)
(2)求总利润W关于x的函数关系式；
(3)如果购进两种饮料的总费用不超过2100元，那么该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润．
3．(2017·长沙中考)自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁．某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元．
(1)求一件A，B型商品的进价；
(2)若该欧洲客商购进A，B型商品共250件进行试销，其中A型商品的件数不多于B 型的件数，且不少于80件．已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出．设购进A型商品m件，求该客商销售这批商品的利润v与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围；
(3)在(2)的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元，求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益．
◆类型二方案问题
4．(2017·邯郸丛台区期末)某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案．印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要．两种印刷方式的费用y(元)与印刷份数x(份)之间的关系如图所示．
(1)填空：甲种收费方式的函数关系式是____________，乙种收费方式的函数关系式是____________．
(2)该校某年级每次需印制100～450(含100和450)份学案，选择哪种印刷方式较合算？
5．(2017·承德围场县期末)现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．小明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲、乙两家快递公司比较合适．甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费．乙
公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元．设小明快递物品x千克．
(1)请分别写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y(元)与x(千克)之间的函数关系式；
(2)小明选择哪家快递公司更省钱？
6．(2017·保定徐水县模拟)为了贯彻落实市委市政府提出的“精准扶贫”精神，某校特制定了一系列关于帮扶A，B两贫困村的计划．现决定从某地运送152箱鱼苗到A，B两村养殖，若用大、小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大、小货车的载货能力分别为
目的地车型A村(元/辆)B村(元/辆)
大货车800900
小货车400600
(1)求这15
(2)现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，前往A、B两村总费用为y元，试求出y与x的函数表达式．
(3)在(2)的条件下，若运往A村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用．
参考答案与解析
1．y 1＝x y 2＝1
2
x ＋2 ＞4
2．解：(1)y 与x 的函数关系式为y ＝50－x .
(2)总利润W 关于x 的函数关系式为W ＝(61－51)x ＋(43－36)(50－x )＝3x ＋350.
(3)由题意得51x ＋36(50－x )≤2100，解得x ≤20.∵W ＝3x ＋350，W 随x 的增大而增大，∴当x ＝20时，W 最大＝3×20＋350＝410，此时购进碳酸饮料50－20＝30(箱)，∴该商场购进果汁、碳酸饮料分别为20箱、30箱时，能获得最大利润410元．
3．解：(1)设一件B 型商品的进价为x 元，则一件A 型商品的进价为(x ＋10)元．由题意16000x ＋10
＝7500
x ×2，解得x ＝150，经检验，x ＝150是分式方程的解.150＋10＝160(元)．
答：一件B 型商品的进价为150元，一件A 型商品的进价为160元． (2)由题知客商购进A 型商品m 件，则客商购进B 型商品(250－m )件．由题意得v ＝(240－160)m ＋(220－150)(250－m )＝10m ＋17500.∵80≤m ≤250－m ，∴80≤m ≤125.
(3)设利润为w 元．则w ＝(80－a )m ＋70(250－m )＝(10－a )m ＋17500.当10－a ＞0时，w 随m 的增大而增大，m ＝125时，最大利润为(18750－125a )元．当10－a ＝0时，最大利润为17500元．当10－a ＜0时，w 随m 的增大而减小，∴m ＝80时，最大利润为(18300－80a )元．
4．解：(1)y 1＝0.1x ＋6 y 2＝0.12x
(2)当y 1＞y 2时，0.1x ＋6＞0.12x ，得x ＜300.当y 1＝y 2时，0.1x ＋6＝0.12x ，得x ＝300；当y 1＜y 2时，0.1x ＋6＜0.12x ，得x ＞300；∴当100≤x ＜300时，选择乙种收费方式合算；当x ＝300时，甲、乙两种收费方式一样合算；当300＜x ≤450时，选择甲种收费方式合算．
答：印制100～300(含100)份学案，选择乙种印刷方式较合算，印制300份学案，甲、乙两种印刷方式都一样合算，印制300～450(含450)份学案，选择甲种印刷方式较合算．
5．解：(1)由题意知，当0＜x ≤1时，y 甲＝22x ；当x ＞1时，y 甲＝22＋15(x －1)＝15x ＋7.y 乙＝16x ＋3.
(2)①当0＜x ≤1时，令y 甲＜y 乙，即22x ＜16x ＋3，解得0＜x ＜1
2；令y 甲＝y 乙，即22x
＝16x ＋3，解得x ＝12；令y 甲＞y 乙，即22x ＞16x ＋3，解得1
2
＜x ≤1.②当x ＞1时，令y 甲＜y
乙
，即15x ＋7＜16x ＋3，解得x ＞4；令y 甲＝y 乙，即15x ＋7＝16x ＋3，解得x ＝4；令y 甲＞y 乙
，即15x ＋7＞16x ＋3，解得1＜x ＜4.综上可知，当1
2
＜x ＜4时，选乙快递公司省钱；当x
＝4或x ＝12时，选甲、乙两家快递公司快递费一样多；当0＜x ＜1
2或x ＞4时，选甲快递公
司省钱．
6．解：(1)设大货车用x 辆，小货车用y 辆，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝15，12x ＋8y ＝152，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝8，
y ＝7. 答：大货车用8辆，小货车用7辆．
(2)y ＝800x ＋900(8－x )＋400(10－x )＋600[7－(10－x )]＝100x ＋9400(3≤x ≤8，且x 为整数)．
(3)由题意得12x ＋8(10－x )≥100，解得x ≥5.又∵3≤x ≤8，∴5≤x ≤8且为整数．∵y ＝100x ＋9400，k ＝100＞0，∴y 随x 的增大而增大，∴当x ＝5时，y 最小，y 最小＝100×5
＋9400＝9900.
答：使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、5辆小货车前往A村；3辆大货车、2辆小货车前往B村．最少运费为9900元．。