2
R1
其功率谱密度不再是均匀的，而是 频率ω的函数。
5、矢量白噪声
定义：若一个n维独立矢量随机过程
W(t),t 0 均值矢量为
mW (t) E[W(t)] 0
PW (t, ) cov[W(t), W( )] Q(t) (t )
本节课小结
1、平稳过程的功率谱密度 2、谱密度与自相关函数：维纳辛钦
平稳随机过程的功率谱密度是它的 自相关函数的傅立叶变换：
S () R( )e j d ①
由于 R( ) R*( ) S () 是实函数
谱密度与自相关函数的关系
由傅里叶逆变换公式，有
R( ) 1 S()e j d ②
2
上述两式统称为 维纳-辛钦公式
注释：对比“信号与系统” 中维纳辛钦公式
令T趋于无穷，功率型信号s(t)在
(-∞, ∞)上的平均功率可表示为
Ps
lim
T
1 2T
T s2 (t)dt
T
1
lim
1
| F (,T ) |2 d
2 T 2T
功率型信号的平均功率谱密度
功率谱密度
功率型信号的平均功率谱密度，简 称功率谱密度，定义为：
S lim 1 | F (,T ) |2
已知功率谱
S( )
4
2 4 10 2
, 求R( )
9
R( ) 1
2
4
2 4 10 2
e 9
j d
应用留数定理
R(τ)=
1 2π
2πj
(z 2
z2 +4 +1)(z 2
+9)
e j|τ|z
在z=j,3j留数和
1 (9e| | 5e3| | ) 48
例 2.4-4
若平稳随机过程功率谱
PX
1
2
SX ()d
平均功率谱 的表达式
平稳过程的功率谱密度
SX () 为双边功率谱密度，但在实际 应用中，负频率不存在，故引入
单边谱密度
GX
()
2S
X ()
0
0 0
二、谱密度与自相关函数
1、功率谱密度与自相关函数 2、功率谱密度的两种定义 3、功率谱密度的性质
1、谱密度与自相关函数的关系
Ps为信号的平均功率。
5、平均功率的谱表示
功率型信号不满足绝对可积条件
为了能够利用傅里叶变换给出平均 功率的谱表示式，构造截尾函数：
s(t) | t | T
sT (t)
0
t T
平均功率的谱表示
sT(t)能够满足绝对可积条件， sT(t) 的频域结构
F(,T )
sT
(t
)e
jt
麦
克
黑傅
斯
格立
韦
尔叶恩
：
是是格
一
一一斯
首
首首：
伟
辩数
大
证学
的
法的
数
的诗
学
诗，
的
诗
傅里叶《热的解析理论》
所有的声音，无论是噪音还是仪器发出的 ，复杂的还是简单的，都可以用数学方式 进行全面的描述。
傅立叶的证明具有深刻的哲学意义：美妙 的音乐以令人意想不到的美妙方式得到了 数学描述，从而，艺术中最抽象的领域能 转换为最抽象的科学；而最富有理性的学 问，也有合乎理性的音乐与其密切相联。
2、功率谱密度两种定义的等价条件
对于第一种定义，将其展开
S
X
(
)
lim
T
1 2T
E
T T
X
(t1 )e
jt1 dt1
T T
X
(t2 )e
jt2 dt2
lim 1 T 2T
T T
T T
E[
X
(t1 )
X
(t2
)]e
j (t1 t2
)dt1dt2
lim 1 T 2T
T T
2
3、功率谱密度的性质
若过程X(t)是实平稳的，则自相关函数 是实偶函数，因此功率谱密度也是实偶 函数，即
S() S(), S() S()
证明：
S() R*( )e j d R( )e j( )d S()
S() R*( )e j d R( )e j() d S()
T T
R(t1
t2
)e
j (t1 t2
)dt1dt2
功率谱密度两种定义的等价条件
通过变量置换，最后得到：
S
X
(
)
lim
T
2T (1 | |)R( )e j d
2T 2T
lim 2T R( )e j d lim 2T | | R( )e j d
T 2T
T 2T 2T
功率谱密度两种定义的等价条件
功率谱密度的性质
由于R(τ)和S(ω)都是偶数，于是 维纳-辛钦公式还可以写成：
S () 20 R( ) cos( )d
R( ) 1
S () cos( )d
0
例 2.4-1
设随机相位余波 X t cosct 的功
率谱密度，其 是在区间 0,2 内均
匀分布.
解：
S( )
R( )
平稳随机过程的功率谱密度 白噪声随机过程
主讲人：张有光 电 话：82314978 办公室：新主楼F806
主要内容
一、平稳过程的功率谱密度 二、谱密度与自相关函数 三、平稳过程的互谱密度 四、白噪声过程
一、平稳过程的功率谱密度
能量型信号 信号的频谱 信号的能谱 功率型信号 平均功率的谱表示和功率谱密度 平稳过程的功率谱密度
dt
T s(t)e jtdt
T
sT(t)的平均功率：PsT
sT2
(t
)dt
平均功率的谱表示
由巴塞伐尔等式，可得到
sT2 (t)dt
1
2
|
F (,T )
|2
d
两边同除以2T，并由截尾函数的定 义，得到
1 T s2 (t)dt 1
|
F(,T ) |2
d
2T T
4T
平均功率的谱表示
此时有：
RX Y ( ) RX ( ) RY ( ) SX Y () SX () SY ()
3、互谱密度的性质
SXY () SY*X () SYX ()
| SXY () |2 SX ()SY ()
Re[SXY ()] Re[SXY ()] Im[SXY ()] Im[SXY ()]
定理，计算功率谱的方法； 3、平稳过程的互谱密度 4、白噪声过程
习题
P87：27~31
RY*X
(
)e

j
d
,
令：
-
SY*X ()
RXY
( )e j d
RXY
()e
j d
S XY
()
若X (t)和Y (t)是实随机过程则
SY*X ()
RY*X
(
)e
j
d
RYX
(
)e
j ( )
d
SYX
()
互谱密度函数： 不是实的、正的偶函数
2) | SXY () | SX ()SY ()
只要
|
R( ) |
d
则上式中第二项为
零，故此时
SX ()
R( )e j d
平稳随机过程在自相关函数绝对可 积的情况下，维纳-辛钦公式成立。
此时功率谱密度的两种定义等价。
功率谱的意义
R( ) 1 S ()e j d
2
令 0， 则
R(0) 1 S()d E{| X (t) |2} 0
SXY ()
RXY
(
)e
j
d
RXY ( ) cos d j RXY ( )sin d
Re[SXY ()] j Im[SXY ()]
Re[SXY ()] RXY ( ) cos d
四、白噪声过程
1、白噪声过程的定义 2、白噪声过程的自相关函数 3、白噪声的相关系数
T 2T
6、平稳过程的功率谱密度
平稳随机过程的样本函数是功率型的
FX (,T )
T X (t)e jt dt
T
1
2T
T X 2 (t)dt 1
T
4 T
|
FX
(,T ) |2
d
定义
1
PX
lim
T
E
2T
T
X
2
(t
)dt
T
为平稳过程X(t)的平均功率。
6、平稳过程的功率谱密度
由于平稳随机过程的均方值是常数
(
)
1
2
S
XY
()e
j
d
2、互谱密度的维纳-辛钦公式
当 0
RXY
(0)
1
2
SXY ()d E[ X (t)Y (t)]
若X(t)是一个二端电压、Y(t)是流经 该器件的电流，则上式左边就是消 耗的功率。
两个正交随机过程性质
随机过程X(t)和Y(t)正交
RXY ( ) 00,,SSXXYY(())00
1）SXY () SY*X () SYX ()
先证明：RY*X ( ) RYX ( )
RYX ( ) y(t)x*(t ) f (x,t ; y,t)dxdy
令： t t
RY*X ( ) x(t) y*(t ) f (x,t; y,t )dxdy RXY ( )
SY*X ()
2 X
lim
T
E