蒲丰投针与蒙特卡洛（Monte —Carlo）方法
1777年法国科学家蒲丰（Buffon ）提出并解决了如下的投针问题：桌面上画有一些平行线，它们之间的距离都是，一根长为a )(a l l ≤的针随机地投在桌面上。
问：此针与任一直线相交的概率是多少？
设表示针的中点到最近的一条平行线的距离，Y 表示针与平行线的夹角（如图），如果
X 2sin l Y X <， 或Y l
X sin 2
<时，针与一条直线相交。
由于向桌面投针是随机的，所以用来确定针在桌面上位置的是二维随机
向量。
并且在),(Y X X ⎟⎠⎞⎜⎝⎛2,0a 上服从均匀分布，在Y ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛2,0π上服从均匀分布,与Y 相互独立。
由此可以写出的联合概率密度函数：
X ),(Y X
⎪⎩⎪
⎨⎧<<<
<=其它
20,204
),(ππy a
x a
y x f 于是，所求概率为：
∫∫
∫∫
=
=
=
⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧<<20sin 20sin 2
24),(sin 2π
ππa
l dxdy a
dxdy y x f Y l X P y l
y l
x ①
由于最后的结果与π有关，因此有些人想利用它来计算π的值。
其方法是向桌面投针
次，若针与直线相交次，则针与直线相交的频率为n k n k ，以频率代替概率，则有a
l n k π2=，所以ak
nl
2=
π。
下表列举了这些试验的有关资料。
投针试验的历史资料（折算为1）
a 试验者 年份 针长投针次数n 相交次数k π的试验值
Wolf 1850 0.85000 2532 3.1596 Smith
1855 0.6
3204 1219 3.1554 De.Morgan 1860 1
600 383 3.137 Fox 1884 0.751030 489 3.1595 Lazzerini 1901 0.833408 1801 3.1415929 Reina
1925 0.54
2520
859
3.1795
这个思路已被人们发展成为统计学的一个分支—随机试验法或称为蒙特卡洛（Monte—Carlo ）方法，其中随机试验可借助计算机大量重复，以致结果更接近真值。
目前，蒙特卡洛方法广泛地应用于市场预测、证券投资、金融与保险行业，在计算机高度普及的今
①
这个概率也可以通过几何型概率来计算。
天，有着广阔的应用前景。
在随机模拟（蒙特卡洛方法）中，经常要产生正态分布的随机数，但一般计算机只具备产生区间（0，1）上的均匀分布的随机数（常称为伪随机数）的软件，怎样通过均匀分布的随机数来产生正态分布的随机数呢？利用中心极限定理可以获得正态分布（已知）的随机数。
具体做法如下：
),(2σµN )1,0(U ),(2σµN ),(2σµN 2,σµ（1）从计算机中产生均匀分布的随机数30个（当然，也可以是任意个，m 越
大越好，主要是符合中心极限定理的条件），记为；由于)1,0(U m 3021,,,u u u "2
1
)(=i u E ，
)30,,2,1(121
)("==i u D i 根据中心极限定理，可以认为
近似服从均值为∑=30
1
i i u 153021
=×，方
差为
5.23012
1
=×的正态分布。
（2）计算：5.2)
15(3021−+++=u u u v "，由中心极限定理，它可以看作是来自标准正态
分布的一个随机数；
)1,0(N （3）变换：v x σµ+=，由正态分布的性质可知，它可以看作是来自正态分布的一个随机数。
)
,(2σµN 重复以上步骤，即可得到正态分布的一组随机数。
这种做法的理论根据就是中心极限定理。
),(2σµN 蒙特卡罗(Monte Carlo )方法，或称计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法。
这一方法源于美国在第一次世界大战间研制原子弹的“曼哈顿计划”。
该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo —来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。
Monte Carlo 方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。
早在17世纪，人们就知道用事件发生的“频率”来决定事件的“概率”。
19世纪人们用投针试验的方法来决定圆周率π。
二十世纪40年代电子计算机的出现，特别是近年来高速电子计算机的出现，使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能。
考虑平面上的一个边长为1的正方形及其内部的一个形状不规则的“图形”，如何求出这个“图形”的面积呢？Monte Carlo 方法是这样一种“随机化”的方法：向该正方形“随机地”投掷个点有N M 个点落于“图形”内，则该“图形”的面积近似为。
N M /可用民意测验来作一个不严格的比喻。
民意测验的人不是征询每一个登记选民的意见，而是通过对选民进行小规模的抽样调查来确定可能的优胜者。
其基本思想是一样的。
科技计算中的问题比这要复杂得多。
比如金融衍生产品（期权、期货、掉期等）的定价及交易风险估算，问题的维数（即变量的个数）可能高达数百甚至数千。
对这类问题，难度随维数的增加呈指数增长，这就是所谓的“维数的灾难”(Course Dimensionality )，传统的数值方法难以对付（即使使用速度最快的计算机）。
Monte Carlo 方法能很好地用来对付维数的灾难，因为该方法的计算复杂性不再依赖于维数。
以前那些本来是无法计算的问题现在也能够计算。
为提高方法的效率，科学家们提出了许多所谓的“方差缩减”技巧。
另一类形式与Monte Carlo 方法相似，但理论基础不同的方法—“拟蒙特卡罗方法”(Quasi-Monte Carlo 方法)—近年来也获得迅速发展。
我国数学家华罗庚、王元提出的
“华—王”方法即是其中的一例。
这种方法的基本思想是“用确定性的超均匀分布序列(数学上称为Low Discrepancy Sequences)代替Monte Carlo方法中的随机数序列。
对某些问题该方法的实际速度一般可比Monte Carlo方法提出高数百倍，并可计算精确度。
评注：
1、理论依据：
利用二维随机变量的联合分布计算相关的概率（与π有关），据此进行模拟求出π的近似值；根据中心极限定理模拟正态分布的随机数。
2、应用与推广
建立一个与我们感兴趣的量（这里是π）有关的概率模型，然后设计适当的随机试验，通过实验的结果来确定这个量。
依照这样的思路，利用计算机技术，已经建立起一类称为随机试验法或蒙特卡罗（Monte—Carlo）法的计算机模拟方法，目前这种方法已广泛应用到经济管理当中。
参考文献：
谢国瑞等.概率论与数理统计[M].高等教育出版社.2002.8.
茆诗松等.概率论与数理统计[M].中国统计出版社.2000.7.。