平行线 的距离
针长
投掷次数
相交次数
π的近似值
1
0.7
1000
462
3.0303
1
0.9
2000
1146
3.1414
2
1.7
3000
1649
3.0928
2
1.9
4000
2401
3.1653
3
2.7
5000
2932
3.0696
3
2.9
6000
3696
3.1385
4
3.8
7000
4238
3.1383
4
3.6
考核结果
教师签名：年 月 日
模拟法(也称为Monte-Carlo法).
实验的目的与作用
(1)理解频率具有客观稳定性；
(2)理解概率是频率的稳定值；
(3)知道我们常用频率作为计算概率的近似值；
(4)掌握通过设计一个随机实验，使一个事件的概率与某一未知数有关，然后通过重复实验，以频率近似概率，即可求得未知数的方法。
实验方法
运用计算机模拟蒲丰投针实验，通过重复实验，以频率近似概率，并通过公式推导，求的圆周率π的近似值。
实 验 报 告
课程名称：___概率论与数理统计___
学院名称：____数学与统计学院____
班 级：__________
姓 名：
学 号：
2013-2014______学年第 _____2____学期
数 学 与 统 计 学 院 制
实验地点ห้องสมุดไป่ตู้
课程类别
①公共课□ ②专业课□
实验日期
2014.4.28
实验编组
第 组
实验所
用时间
2小时
实验名称
蒲丰投针试验
问题陈述及原理
在一个平面上，用尺画一组相距为n的平行线；一根长度小于l（l<=n）的针，扔到画了线的平面上；如果针与线相交，则该次扔出被认为是有利的，否则则是不利的．
蒲丰惊奇地发现：有利的扔出与不利的扔出两者次数的比，是一个包含π的表示式．如果针的长度等于l，那么有利扔出的概率为2/π．扔的次数越多，由此能求出越为精确的π的值．
实验环境
MATLABＲ2010a
实验内容：
(1)利用计算机模拟蒲丰投针问题；
(2)根据蒲丰投针实验模拟结果估计圆周率π的近似值。
实验的意义
蒲丰投针问题是几何概率早起应用的一个例子。该实验的重要性并非是为了求得比其它方法更精确的π值，而在于这种通过
建立一个概率模型，并设计适当的随机实验，然后利用计算机模拟所设计的随机实验，来解决确定性数学问题方法，称为随机
问题的数学描述
个实验方法的操作很简单：找一根粗细均匀，长度为l的细针，并在一张白纸上画上一组间距为n的平行线（方便起见，常取 l>=n/2），然后一次又一次地将针任意投掷在白纸上。这样反复地投多次，数数针与任意平行线相交的次数。于是就可以得到 π 的近似值。因为蒲丰本人证明了针与任意平行线相交的概率为 p =2l/πl。
8000
4602
3.1291
5
4.85
9000
5538
3.1528
6
5.7
10000
5965
3.1852
实验分析：通过实验可以看到，无论改变平行线间的距离，针的长度或是投掷的次数，得到的π的值都很相近。而且又可以感觉到，针的长度越接近平行线间的距离，在实验中得到的π的值与3.1416越接近，即也说明频率的稳定。因此也得到和学习了有一种计算π的值的计算方法。
实验原理
在平面上画有等距离的平行线，平行线间的距离为 a（a>0），向平面任意投掷一枚长为l(l<a)的针，求针与平行线相交的概率p。以 x表示针的中点到最近一条平行线距离，以Φ表示针与平行线的交角.于是投针试验就相当于向平面区域Ω={（x，φ）|0≤x≤a/2,0≤φ≤π}投点的几何概型。
针与平行线相交的充要条件是（x，Φ）满足：
编程如下：
function buffon(a,l,N)
X=unifrnd(0,a/2,1,N);
phi=unifrnd(0,pi,1,N);
half_sin=l*sin(phi)./2;
M=sum(X<=half_sin);
hat_pi=2*N*l./(a*M);
M
hat_pi
（蒲丰投针实验模拟结果及有关数据）
于是:
投针N次，记录下针与平行线相交的次数M，再用频率M/N代替概率p，从而得到π≈2lN/aM
实验准备
Matlab程序中的命令:
均匀分布 unif
随机数生成 rnd
实验过程
计算机模拟投针N次，针与平行线相交M次，由公式π≈2lN/aM
计算出π。
产生随机数
时生成均匀分布随机数：unifrnd（a,b,1,N）或unifrnd（a,b,N,1）其中，N为重复实验次数.。