∴ｋAM∈（
，0） （0， ），
8
（Ⅱ）由题意 F（ ，0）， M（x 0，y 0），其中 x0≠± 2，则
1，
直线 AM的方程为 y
（ x+2），令 x＝0，得点 P 的坐标为（ 0，
），
∵ｋBM
=kAQ
，∴直线 AQ的方程为 y
（ x+2），
令 x＝0，得点 Q的坐标为（ 0，
），由
（，
），
（，
（ 2）若二面角
的大小为 ，求三棱锥
的体积 .
19. （本题满分 12 分）
某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过
的包裹收费 元；重量超过
的包裹，除
收费 元之外，超过
的部分，每超出
（不足 时按 计算）需再收 元．公司从承揽
过的包裹中，随机抽取
件，其重量统计如下：
3
公司又随机抽取了 天的揽件数，得到频数分布表如下：
e
1，
由（ 1）可得 f x 在 1,ea 1 上单调递减，在 ea 1,
上单调递增；
所以 f x min
f ea 1
1
ea
1
，
又存在 x 1, ，使 f x e 1 a 3 成立，
所以，只需 1 ea 1 e 1 a 3 成立，即 ea 1 e 1 a 3 1 0 不等式成立，
令 h x ex 1 e 1 x 3 1，
21．（本题满分 12 分）
已知函数 f x x ln x ax 1 a R .
（ 1）讨论 f x 在 1, 上的零点个数；
（ 2）当 a 1 时，若存在 x 1, ，使 f x e 1 a 3 ，求实数 a 的取值范围 . （ e 为自
然对数的底数，其值为 2.71828 ……） （二）选考题（共 10 分。请考生在第 22、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计
23. （ 1）原不等式等价于
或
或
解得：
或
所以原不等式的解集为
（ 2）由（ 1）知，当
时，
，
所以
，
从而
可得
10
试题考生都必须作答．第 22、 23 为选考题，考生根据要求作答。）
（一）必考题（共 60 分）
17. （本题满分 12 分）
的内角 ， ， 的对边分别为 ， ，，已知
，
，
.
（ 1）求角 ；
（ 2）若点 满足
，求 的长 .
18. （本题满分 12 分）
如图，在三棱锥
中，
底面 ，
为 的中点
（ 1）求证：
分。）
22． [ 选修 4— 4：坐标系与参数方程 ] （ 10 分） 在直角坐标系中，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建坐标系， 已知曲线 C： ρ sin 2θ ＝ 2acos θ ( a＞ 0) ，已知过点 P( － 2 ，－ 4) 的直线 l 的参数方程为
4
2 x＝－ 2＋ 2 t
2 y＝－ 4＋ 2 t
工作人员裁减 人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润有
利？（同一组中的揽件数以这组数据所在区间中点值作代表）
20. （本题满分 12 分）
已知椭圆 C：
的离心率为 ，左、右顶点分别为 A， B，点 M是椭圆 C 上异于 A， B
的一点，直线 AM与 y 轴交于点 P． （ 1）若点 P 在椭圆 C 的内部，求直线 AM的斜率的取值范围； （ 2）设椭圆 C的右焦点为 F，点 Q在 y 轴上，且 AQ∥BM，求证：∠ PFQ 为定值．
故公司将前台工作人员裁员 人对提高公司利润不利．
20. （Ⅰ）由题意可得 c 2＝a2﹣ 2，∵ｅ
，∴ a＝ 2， c ，∴椭圆的方程为
1，
设 P（0， m），由点 P 在椭圆 C的内部，得
m ，又∵ A（﹣ 2，0），
∴直线 AM的斜率 k AM
∈（ ， ），又 M为椭圆 C上异于 A，B 的一点，
的焦点距离相等，那么这样的点 P 有（ ）
A. 0 个
B. 1 个
C. 2 个
D. 无数个
7. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积
为
1
A.
B.
C.
D.
8. 从 2 个不同的红球， 2 个不同的黄球， 2 个不同的蓝球中任取两个，放入颜色分别为红、黄、蓝
则 h x ex 1 e 1 ，
易知 h x ex 1 e 1 0 在 x 1,
上恒成立，
故 h x ex 1 e 1 x 3 1在 x 1, 上单调递增
9
又 h 2 0 ，所以 h x 0 x 2 .
故实数 a 的取值范围为 2, .
22 (1) 由 C：ρ sin 2θ ＝2acos θ，得 ( ρsin θ ) 2＝2aρ cos θ ，所以曲线的普通方程为 y2＝ 2ax.
以记录的 天的揽件数的频率作为各揽件数发生的概率
（ 1）计算该公司 天中恰有 天揽件数在
的概率；
（ 2）估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；
（ 3）公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用做其他费用，目
前前台有工作人员 人，每人每天揽件不超过
件，每人每天工资 元，公司正在考虑是否将前台
浙江省 2020 年高考理科数学模拟试题及答案
（满分 150 分，考试时间 120 分钟） 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。）
1. 已知全集 U R ，集合 A x | 2x 4 , B { x | ( x 1)(x 3) 0} ，则 eU A B （ ）
g
x
0 在 1,
上恒成立，
ln x
1
在
1,
上单调递增， g x
1,
，
x
又 g x 连续不断，所以当 a 1时， f x 在 1, 上无零点；
当 a 1 时， f x 在 1, 上存在一个零点 .
（ 2）当 a 1 时，由（ 1）得 f x 在 1, 上存在一个零点，
由f x
ln x 1 a
0得 x
a
e2 1
A. 2e2 ,e
B.
e2 1 2e2 ,1
e2 1 e 1,
2
2
e2 1 e 1
C. 2e2 , e
e 1,e
D.
e 1,e
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。）
5
13. 1 x 2x2 展开式中的 x6 的系数为 _______
14. 若向量 a (2, x), b ( 2,1) 不共线，且 (a b) (a b) ，则 a b ______
p f log4 25 , 则 m, n, p 的大小关系为 ( )
A. m p n
B.
p n m C.
p m n D.
npm
12. 已知函数 f x ex ax 1在区间 (-1,1) 内存在极值点 , 且 f x 0 恰好有唯一整数解 , 则 a
的取值范围是 ( 其中 e 为自然对数的底数 , e 2.71828 )
由直线 l 的参数方程
2 x＝－ 2＋ 2 t ，
2 y＝－ 4＋ 2 t
消去参数 t ，得 x－ y－ 2＝0. ……５ 分
(2) 直线 l 的参数方程为
2 x＝－ 2＋ 2 t ，
2 y＝－ 4＋ 2 t
( t 为参数 ) ，
代入 y2＝ 2ax, 得到 t 2－ 2 2(4 ＋ a) t ＋ 8(4 ＋ a) ＝ 0，则有 t 1＋ t 2＝ 2 2(4 ＋a) ， t 1· t 2 ＝8(4 ＋ a). 因为 | MN| 2＝ | PM| ·｜PN| ，所以 ( t 1－ t 2) 2 ＝( t 1＋ t 2) 2－ 4t 1·t 2＝ t 1· t 2. 解得 a＝1. ……… 10 分
，直线 l 与曲线 C分别交于 M， N两点 .
(1) 写出曲线 C和直线 l 的普通方程； (2) 若 | PM| ， | MN| ， | PN| 成等比数列，求 a 的值 .
23． [ 选修 4— 5：不等式选讲 ] （10 分）
设不等式
的解集为 M．
(1) 求集合 M；
(2) 已知
，求证：
．
5
MF 的斜率为
b
，则双曲线的渐近线方程为
()
a
A． y x
B
． y 2x
C． y 3x
D
． y 4x
10. 已知数列 的通项公式是
，其前 项和
，则项数
A. 13
B. 10
C. 9
D. 6
11. 已知 f x 是定义域为 R 的偶函数 , 且在 (0,+ ∞ ) 单调递增 , 设 m f log 2 1 , n f 7 0.1 , 3
A． 30
B
． 60
C
． 150
D
4. 执行如图所示的程序框图，如果输入 N=4，则输出 p 为（
）
． 30 或 150
A. 6
B. 24
C. 120
D. 720
5. 已知等差数列
的前 项和为 ，且
，则
（）
A.
B.
C.
D.
6. 已知直线
和抛物线 C：
，P 为 C上的一点，且 P 到直线 l 的距离与 P 到 C
参考答案
一、选择题 1.B 2.D 3.A 4.B 5.C 6.C 7.B 8.D 9.A 10.D 11.C 12.C 二、填空题