点线面位置关系总复习知识梳理一、直线与平面平行1•判定方法(1) 定义法：直线与平面无公共点。

、平面与平面平行1•判定方法(1) 定义法：两平面无公共点。

all 、bll(2) 判定定理：a >11 ba b P /a i(3)其他方法： 卜lla一 // [2•性质定理： a 卜a //bb 」三、直线与平面垂直(1 )定义：如果一条直线与一个平面的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直。

(2 )判定方法① 用定义•(2)判定定理:(3)其他方法: //aall2•性质定理：a卜 allb b 」all 1 卜// // Ja c②判定定理：b c A > abca ]③推论: L ba//b J（3）性质a -1a i① b》a b ②b } a//b四、平面与平面垂直（1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直线二面角，就说这两个平面互相垂直。

a ]（2 ）判定定理a（3）性质①性质定理 1卜② P PA 3 P PA“转化思想”面面平行 ---------- *线面平行 ------------- ►线线平行面面垂直 ---------- ► 线面垂直 ----------- ►线线垂直aa 1丿1卜A 1垂足为A 」r1〉PA求二面角1. 找出垂直于棱的平面与二面角的两个面相交的两条交线,它们所成的角就是二面角的平面角.2. 在二面角的棱上任取一点0,在两半平面分别作射线0A丄1, 0B丄I，则/ A0B叫做二面角的平面角例1.如图，在三棱锥S-ABC中，SA底面ABC, AB BC, DE垂直平分SC,且分别交AC于D,交SC于E,又SA=AB,SB=BC求以BD为棱，以BDE和BDC为面的二面角的度数。

求线面夹角定义：斜线和它在平面的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）方法：作直线上任意一点到面的垂线，与线面交点相连，利用直角三角形有关知识求得三角形其中一角就是该线与平面的夹角。

例1:在棱长都为1的正三棱锥S- ABC中，侧棱SA与底面ABC所成的角是_______________ .例2：在正方体ABCD－A1B1C1D1 中，①BC1与平面AB1所成的角的大小是____________ ;②BD1与平面AB1所成的角的大小是____________ ;③CC1与平面BC1D所成的角的大小是 __________ ;④BC1与平面A1BCD1所成的角的大小是_____________ ;⑤BD1与平面BC1D所成的角的大小是____________ ;例3:已知空间一点0出发的三条射线0A、OB、0C两两夹角为60°,试求0A与平面B0C所成的角的大小.求线线距离说明：求异面直线距离的方法有：（1）（直接法）当公垂线段能直接作出时，直接求•此时，作出并证明异面直线的公垂线段，是求异面直线距离的关键.（2）（转化法）把线线距离转化为线面距离，如求异面直线a、b距离，先作出过a且平行于b的平面，则b与距离就是a、b距离.（线面转化法）.也可以转化为过a平行b的平面和过b平行于a的平面，两平行平面的距离就是两条异面直线距离. （面面转化法）.（3）（体积桥法）利用线面距再转化为锥体的高用何种公式来求.（4）（构造函数法）常常利用距离最短原理构造二次函数，利用求二次函数最值来解.两条异面直线间距离问题，教科书要求不高（要求会计算已给出公垂线时的距离），这方面的问题的其他解法，要适度接触，以开阔思路，供学有余力的同学探求.例：在棱长为a的正方体中，求异面直线BD和B IC之间的距离。

线面平行（包括线面距离）例：已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA SB SC, SG为SAB上的高，D、E、F 分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明面面平行（包括面面距离）例1：已知正方体ABCD ABGD,，求证平面B.AD,//平面BCQ例2：在棱长为a的正方体中，求异面直线BD和B,C之间的距离.面面垂直例1：已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。

求证：平面PAC平面PBDb已知直线PA 垂直于 0所在的平面，A 为垂足，AB 为 0的直径，C 是圆周上异于 A 、B 的一点。

求证:平面PAC 平面PBG课后作业：、选择题1•教室任意放一支笔直的铅笔，则在教室的地面上必存在直线与铅笔所在的直线( ) A.平行 B.相交 C.异面D.垂直 2.若m 、n 是两条不同的直线， a 氏丫是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是( ) A. 若 m? B, a 丄 3,贝y m ± aB. 若 ad 尸 m , 3门尸 n , m // n ,贝V all 3C. 若 m ± 3 m l a,贝U a 丄 3D. 若 a 丄 Y a 丄 3, 贝V 3丄 Y3. (改编题)设P 是厶ABC 所在平面外一点，P 到厶ABC 各顶点的距离相等， 而且P 到厶ABC 各边的距离也相 等，那么△ ABC( )A. 是非等腰的直角三角形B. 是等腰直角三角形C. 是等边三角形D. 不是A 、B 、C 所述的三角形A. .；2 5. 如图，已知△ ABC 为直角三角形，其中/ ACB = 90° ° M 为AB 的中点，PM 垂直于△ ACB 所在平面，那么 )A. FA = PB>PCB. PA = FB<FCC. FA = FB = FC例2: 4. 把等腰直角△ ABC 沿斜边上的高AD 折成直二面角 B — AD — C ,则BD 与平面ABC 所成角的正切值为C.1D. FA 工FB 工FC、填空题:6. 正四棱锥S—ABCD的底面边长为2,高为2, E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PE丄AC,则动点P的轨迹的周长为__________ .7. a B是两个不同的平面，m、n是平面a及B之外的两条不同直线，给出四个论断：①m丄n；②a丄③n丄B；④m丄a以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________ .三、解答题11. 如图(1)，等腰梯形ABCD 中，AD // BC, AB = AD，/ ABC = 60 ° E 是BC 的中点，如图(2)，将△ ABE 沿AE 折起，使二面角B—AE —C成直二面角，连接BC, BD, F是CD的中点，P是棱BC的中点.(1)求证：AE丄BD;⑵求证：平面PEF丄平面AECD ;(3)判断DE能否垂直于平面ABC ?并说明理由12. 如图，已知PA 矩形ABCD所在平面。

M,N分别是AB, PC的中点。

(1求证：MN 面PAD(2)求证：MN CD(3)若PDA 45°,求证：MN 面PCD12.如图所示，已知△ BCD 中，/ BCD = 90° BC = CD = 1 , AB丄平面BCD，/ ADB = 60° E、F 分别是AC、AD上的动点，且AE = AFAC_ ADX0< X1).(1)求证：不论入为何值，总有平面BEF丄平面ABC;⑵当入为何值时，平面BEF丄平面ACD ?13.如图，在矩形ABCD中，AB = 2BC, P、Q分别为线段AB、CD的中点，EP丄平面ABCD.(1) 求证：DP丄平面EPC ;一FP(2) 问在EP上是否存在点F使平面AFDL平面BFC?若存在，求出Ap的值•参考答案求二面角分析：找二面角的平面角，有一种方法是找出垂直于棱的平面与二面角的两个面相交的两条交线是二面角的平面角•,它们所成的角就解:爲丄響方丄辛面EDE = SC±DB1 =」S4平面ABC J设SA=A^=1,则BC=SB=V2〕5盘丄平面ABCEU 丄ABSC =2 , BC=72在Rt △ SA中，SA=1, SC=2•••/ ECA=30 ,在Rt △ DE中，/ DEC=90 ,•••/ EDC=60 ,•所求的二面角为60。

求线线距离解法1:（直接法）如图:D CAy Bi取BC的中点P，连结PD、PB1分别交AC、BC1于M、N两点,易证.DB1//MN DB1 AC DB1 BC1BC MN ^DB1 —a• MN为异面直线AC与BC1的公垂线段，易证： 3 3小结：此法也称定义法，这种解法是作出异面直线的公垂线段来解•但通常寻找公垂线段时，难度较大. 解法2：（转化法）如图：•/ AC // 平面A1C1B,AC与B C1的距离等于AC与平面AGB的距离,x ,在Rt OB 。

1中，作斜边上的高OE ，则OE 长为所求距离,任取点Q BC 1，作QR BC 于R 点，作PK AC 于K 点，设RC 则BR QR ax , CK KR ，且 KR 2 CK 2 CR22 1 2 1 2 KR 2 CR 2 x 2 2 2 .QK 2 ^x 2 (a x)2则 2OE OO 1 OBO i BAC 与BC 1的距离等于平面ACD 1与平面AG B 的距离.DB 平面ACD 1，且被平面ACD 1和平面AGB 三等分;1 3B"iD - •••所求距离为3 3 .小结：这种解法是线线距离转化为面面距离.解法4:（构造函数法）如图：OB OOO 1B 小结：这种解法是将线线距离转化为线面距离.人】 Bi2（x 3 a ）2 2 3...$ 泳 2a ）2小结：本解法是将线线距离转化为线面距离，再将线面距离转化为锥体化为锥体的高，然后用体积公式求之•这 种方法在后面将要学到.线面平行例：分析1：如图，观察图形，即可判定 SG//平面DEF ，要证明结论成立，只需证明SG 与平面DEF 的一条直线平行.观察图形可以看出：连结 C G 与DE 相交于H ，连结FH , FH 就是适合题意的直线.怎样证明SG//FH ?只需证明H 是CG 的中点.证法1:连结C G 交DE 于点H ,故QK 的最小值，即AC 与BC 1的距离等于 小结：这种解法是恰当的选择未知量,离.解法5：（体积桥法）如图：构造一个目标函数， 通过求这个函数的最小值来得到二异面直线之间的距 当求AC 与BC 1的距离转化为求 AC 与平面A 1C 1B 的距离后，设C 点到平面A I C 1B 的距离为h， 贝y V C A 1C 1B V A 1Bcq 即AC 与BC 1的距离等于同理 D 1B 1 //平面 C 1BD•/ DE 是ABC 的中位线，DE//AB .在ACG 中，D 是AC 的中点，且DH //AG ,••• H 为CG 的中点.•/ FH 是 SCG 的中位线，• FH//SG .又 SG 平面 DEF ， FH 平面 DEF ，SG// 平面 DEF .分析2：要证明SG//平面DEF ，只需证明平面 SAB//平面DEF ，要证明平面DEF //平面SAB ，只需证明 SA//DF ，SB//EF 而 SA//DF ，SB//EF 可由题设直接推出.证法2： ■/ EF 为SBC 的中位线，• EF//SB .•/ EF 平面 SAB , SB 平面 SAB ,• EF //平面 SAB .同理： DF //平面 SAB ，EF DF F ，平面SAB//平面DEF ,又SG 平面SAB ,SG// 平面 DEF .面面平行例一：证明：•/ ABCD-AiBGD i 为正方体,D 1A//C 1B ，故D 1A//平面C 1BD又 C 1B 平面 C 1BD=>BD 丄平iMPAC L平血円II人RDu半［filPBD J2：AE是圆O勺直径BC ACC是圆周上异于A、B的一点PA 平面ABCBC PABC平面PAC BC 平面ABC BC平面PBCAC 平面PAC, PA平面PAC 平面PAC平面PBC又D1A D1B1 D1...平面AB1D1//平面GBD例二：根据正方体的性质，易证:BD//B i D iAB〃DQ平面ABD// 平面CB i D i连结AG，分别交平面ABD和平面CBiD1于M和N因为CC1和A C i分别是平面ABCD的垂线和斜线，AC在平面ABCD，AC BD 由三垂线定理：AC i BD,同理：AC i AD••• AG平面ABD,同理可证：AG平面CB i D i•••平面A i BD和平面CB i D i间的距离为线段MN长度.如图所示：在对角面AC i中，O i为AG的中点，0为AC的中点AM MN NC i AC i —a3 3BD和B i C的距离等于两平行平面辽a ABD和CB i D i的距离为3面面垂直iE/jjeABCDi|', AC丄RDPA JBDc^lftjABCDGPA 丄HDACu 平0PAC> PAc 于面PAC例A^| PA A作业：一、选择题：1. D2. C3. C4. B5. C6•解析：如图，取CD的中点F、SC的中点G,连接EF, EG, FG, EF交AC于点H,易知AC丄EF,又GH// SO,U E••• GH丄平面ABCD,••• AC丄GH,「. AC丄平面EFG故点P的轨迹是AEFG, 其周长为.2+ ,6.答案：・.2+ ,67.①③④？②；②③④？①。