集合问题（容斥原理）5丨三者集合公式法（包含）
A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩C
A∪B∪C表示ABC三个圆圈覆盖的面积；A∩B∩C表示符合三个条件，在实际的解题中注意两点：①有不符合ABC任意一项的，并未在图中展示②A∩B是包含A∩B∩C，仅满足A∩B=A∩B-A∩B∩C，其他同理。

2007年广州下半年
如图所示，每个圈纸片的面积都是36，圈纸片A 与B、B 与C、C 与A 的重叠部分面积分别为7、6、9，三个圈纸片覆盖的总面积为88，则图中阴影部分的面积为？
A.66
B.68
C.70
D.72
【解析】C。

根据公式，得知A∩B∩C=2，
进一步得知，周边空白处，依次为5、4、7，故而阴影部分为：
88-7-6-9=88-5-4-7-2=70
2009年国考
116.如图所示，X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三个不同形状的纸片，覆盖住桌面的总面积是290，其中X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分的面积依次是24、70、36，那么阴影部分的面积
A.15
B.16
C.14
D.18
【解析】B。

利用公式即可得知：设阴影部分的面积为A，根据图形的重叠情况，减去重叠部分的面积，可知：X＋Y＋Z－24－70－36＋A＝290。

代入数据：
即：64＋180＋160－24－70－36＋A＝290得知：解得：A＝16。

2011年安徽
15.如图所示：Ａ、Ｂ、Ｃ分别是面积为60、170、150的三张不同形状的卡片，它们部分重叠放在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为280，且Ａ与
Ｂ、Ｂ与Ｃ、Ｃ与Ａ重叠部分的面积分别是22、60、35。

问阴影部分的面积是多少？（）
A.15
B.16
C.17
D.18
【解析】C。

套用三集合容斥原理公式，60＋170＋150－22－60－35＋X＝280，根据尾数法知答案为C。

2009年北京社招
24.对39钟食物中是否含有甲、乙、丙三种维生素进行调查，结果如下：含甲的有17种，含乙的有18种，含丙的有15种，含甲、乙的有7种，含甲、丙的有6种，含乙、丙的有9种，三种维生素都不含的有7种，则三种维生素都含的有多少种?
A.4
B.6
C.7
D.9
【解析】A。

三者集合问题。

设A=含甲的有17种，B=含乙的有18种，C=含丙的有15种，AB=含甲、乙的有7种，AC=含甲、丙的有6种，BC =含乙、丙的有9种，ABC=三种维生素都含的有种数。

根据容斥原理ABC=A+B+C- AB- AC- BC+ ABC可知，39-7=17+18+15-7-6-9+ABC，因此ABC=4。

注：直接套用公式即可。

2009年浙江
55.某专业有学生50人，现开设有甲、乙、丙三门必修课。

有40人选修甲课程，36人选修乙课程，30人选修丙课程，兼选甲、乙两门课程的有28人，兼选甲、丙两门课程的有26人，兼选乙、丙两门课程的有24人，甲、乙、丙三门课程均选的有20人，问三门课程均未选的有多少人？
A 1人 B. 2人 C.3人 D.4人
【解析】B。

利用公式直接解决。

2015年陕西
71.针对100名旅游爱好者进行调查发现，28人喜欢泰山，30人喜欢华山，42人喜欢黄山，8人既喜欢黄山又喜欢华山，10人既喜欢泰山又喜欢黄山，
5人既喜欢华山又喜欢黄山，3人喜欢这三个景点，则不喜欢这三个景点中任何一个的有（）人。

A. 20
B. 18
C. 17
D. 15
E. 14
F. 13
G. 12
H. 10
【解析】A。

三集合标准型公式得，至少喜欢一个景点的人数为28+30+42-8-10-5+3=80，则不喜欢任何一个的人数为20人。

2015年广东乡镇级
46.某乡镇举行运动会，共有长跑、跳远和短跑三个项目。

参加长跑的有49人，参加跳远的有36人，参加短跑的有28人，只参加其中两个项目的有13人，参加全部项目的有9人。

那么参加该次运动会的总人数为（）。

A.75
B.82
C.88
D.95
【解析】 B 。

三者集合问题及差量思维。

49+36+28-13-2×9=82人。

2018年陕西
60.有关部门对120种抽样食品进行化验分析，结果显示，抗氧化剂达标的有68种，防腐剂达标的有77种，漂白剂达标的有59种，抗氧化剂和防腐剂都达标的有54种，防腐剂和漂白剂都达标的有43种，抗氧化剂和漂白剂都达标的有35种，三种食品添加剂都达标的有30种，那么三种食品添加剂都不达标的有（）种
A.14
B.15
C.16
D.17
E.18
F.19
G.20
H.21
【解析】E。

考查多年的三者集合问题。

令三者均不达标为X，则有：
120-X=68+77+59-54-43-35+30，根据尾数得知：8。