专题11 空间中的平行与垂直
1．如图所示是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是( )
解析：先观察俯视图，由俯视图可知选项B 和D 中的一个正确，由正视图和侧视图可知选项D 正确．
答案：D
2.已知一个圆锥的侧面展开图如图所示，扇形圆心角为120°，底面圆半径为1，则圆锥的体积为
( )
22π3
A.
π2B. 42π3C.
52π3
D.
答案：A
3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为( )
48π
．24π D ．12π C ．π B 34．A
答案：B
4．设α为平面，a ，b 为两条不同的直线，则下列叙述正确的是( )
A ．若a ∥α，b ∥α，则a ∥b
B ．若a ⊥α，a ∥b ，则b ⊥α
C ．若a ⊥α，a ⊥b ，则b ∥α
D ．若a ∥α，a ⊥b ，则b ⊥α
解析：若a ∥α， b ∥α，则a 与b 相交、平行或异面，故A 错误；易知B 正确；
若a ⊥α，a ⊥b ，则b ∥α或b ⊂α，故C 错误；
若a ∥α，a ⊥b ，则b ∥α或b ⊂α或b 与α相交，故D 错误．
答案：B
5.如图，在三棱锥D -ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，则下列命题中正确的是( )
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BCD
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE
解析：∵AB＝CB，且E是AC的中点，∴BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.∵AC⊂平面
ABC，∴平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面BDE.
答案：C
6.如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB＝30°，则
点P的轨迹是( )
A．直线
B．抛物线
C．椭圆
D．双曲线的一支
解析：∵∠PAB＝30°，∴点P的轨迹为以AB为轴线，PA为母线的圆锥面与平面α的交线，且平面
α与圆锥的轴线斜交，故点P的轨迹为椭圆．
答案：C
7.棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是( )
A.14
3
B.4
C.
10
3
D.3
答案 B
8.如图，在棱长为1的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 是棱BC 上的一点，则三棱锥D 1B 1C 1E 的体积等于( )
A.13
B.512
C.36
D.16 解析 VD 1B 1C 1E ＝13S △B 1C 1E ·D 1C 1＝13×12×1×1×1＝16.
答案 D
9.已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为( )
A.92
B.3
C.4
D.310
2
答案 A
10.点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，AB ＝BC ＝2，AC ＝2，若四面体ABCD 体积的最大值为2
3，则
这个球的表面积为( )
A.
125π6 B.8π C.25π4 D.25π
16
答案 C
11．已知集合A ， B ，C ，A ＝{直线}，B ＝{平面}，C ＝A ∪B .若a ∈A ，b ∈B ，c ∈C ，给出下列四个命
题：
；c ⊥a ⇒⎩
⎪⎨⎪⎧a∥b，c⊥b ③；c ∥a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a⊥b c⊥b ②；c ∥a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a∥b， c∥b ① .
c ⊥a ⇒⎩
⎪⎨⎪⎧a⊥b，
c∥b ④ 其中所有正确命题的序号是________．
解析：由题意知：c 可以是直线，也可以是平面．当c 表示平面时，①②③都不对，故选④.
答案：④
12.如图， AB 为圆O 的直径，点C 在圆周上(异于点A ，B )，直线PA 垂直于圆O 所在的平面，点M 为
线段PB 的中点．有以下四个命题：
①PA ∥平面MOB ； ②MO ∥平面PAC ； ③OC ⊥平面PAC ； ④平面PAC ⊥平面PBC .
其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)．
答案：②④
13.如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，AC ∩EF ＝G ，现在沿AE 、EF 、FA 把这个正方形折成一个四面体，使B 、C 、D 三点重合，重合后的点记为P ，则在四面体P -AEF 中必有________．
①AP ⊥△PEF 所在平面； ②AG ⊥△PEF 所在平面； ③EP ⊥△AEF 所在平面； ④PG ⊥△AEF 所在平面．
解析：
在折叠过程中，AB ⊥BE ，
AD ⊥DF 保持不变．
⇒
⎭
⎪⎬⎪
⎫AP⊥PE
AP⊥PF PE∩PF＝P ∴
AP ⊥平面PEF .
答案：①
14.在如图所示的多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，AB ＝CD ＝1，AC ＝
3，AD ＝DE ＝2，
G 为AD 的中点.
(1)在线段CE 上找一点F ，使得BF ∥平面ACD ，并加以证明； (2)求三棱锥GBCE 的体积.
(2)∵DE ⊥平面ACD ， ∴平面ABED ⊥平面ACD ， 在平面ACD 内，作CF ⊥AD 于P ， ∵平面ABED ∩平面ACD ＝AD ， ∴CP ⊥平面ABED ， ∴CP 为三棱锥CBGE 的高， ∵V GBCE ＝V CBGE ＝1
3
S △BGE ·CP ，
且S △BGE ＝S 梯形ABED －S △ABG －S △EDG ＝3
2，
由三角形的等面积法得CP ＝
32
， ∴V GBCE ＝V CBGE ＝13S △BGE ·CP ＝3
4
.
15.在空间四边形ABCD 中，已知AD ＝1，BC ＝3，且AD ⊥BC ，对角线B D ＝
132，AC ＝3
2
，求AC 和BD 所成的角．。