2006 年全国各地高考数学试题及解答分类大全 （导数及其应用）
一、选择题：
1.(2006 安徽理)若曲线 y x4 的一条切线 l 与直线 x 4 y 8 0 垂直，则 l 的方程为（ ） A． 4x y 3 0 B． x 4 y 5 0 C． 4x y 3 0 D． x 4 y 3 0
取值范围是 ( )
A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞)
2．解：设函数
f
(x)
xa x 1 ,
集合 M
{x |
f
(x)
0} ，若 a>1 时，M={x| 1<x<a}；
若
a<1
时
M={x|
a<x<1}，a=1
时，M= ； P
{x |
f
(x)
0} ，∴
f
'(x)
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 g(x) x3 6x ，从而 g(x) 3x2 6 ，由此可知，
(, 2) 和 ( 2, ) 是函数 g(x) 是单调递增区间；
( 2, 2) 是函数 g(x) 是单调递减区间；
g(x) 在 x 2 时，取得极大值，极大值为 4 2 ，
g(x) 在 x 2 时，取得极小值，极小值为 4 2 。
当 0x1 时， f (x) 0，所以当 x＝0 时，f（x）取得最大值为 2。选 C
二、填空题：
1. (2006 湖南理)曲线 y 1 和 y x2 在它们交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形面积是 3 .
x
4
1．解：曲线 y 1 和 y x 2 在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是 y=－x+2 和 y=2x－1， x
5. (2006 四川文)曲线 y 4x x3 在点 1, 3 处的切线方程是( )
（A） y 7x 4 （B） y 7x 2 （C） y x 4 （D） y x 2
6、(2006 天津理)函数 f (x) 的定义域为开区间 (a, b) ，导函数 f (x) 在 (a, b) 内的图象如图所示，则
4. (2006 全国 II 文)过点（－1，0）作抛物线 y x2 x 1的切线，则其中一条切线为( ) （A） 2x y 2 0 （B） 3x y 3 0 （C） x y 1 0 （D） x y 1 0 4. 解： y 2x 1 ，设切点坐标为 (x0, y0 ) ，则切线的斜率为 2 x0 1 ，且 y0 x02 x0 1 于是切线方程为 y x02 x0 1 (2x0 1)(x x0 ) ，因为点（－1，0）在切线上，可解得 x0 ＝0 或－4，代入可验正 D 正确。选 D
它们与 x 轴所围成的三角形的面积是 3 . 4
2、(2006 全国Ⅰ理)设函数 f x cos 3x 0 。若 f x f / x 是奇函数，则
π __
_。
6
2．解： f '(x) 3 sin( 3x ) ，
则 f x f / x = cos( 3x )
1. 解：与直线 x 4 y 8 0 垂直的直线 l 为 4x y m 0 ，即 y x4 在某一点的导数为 4， 而 y 4x3 ，所以 y x4 在(1，1)处导数为 4，此点的切线为 4x y 3 0 ，故选 A
2. (2006 湖南理)设函数 f (x) x a ,集合 M={x | f (x) 0} ,P={x | f '(x) 0} ,若 M P,则实数 a 的 x 1
函数 f (x) 在开区间 (a, b) 内有极小值点（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D． 4 个
a
y
y f (x)
b
O
x
6、解：函数 f (x) 的定义域为开区间 (a, b) ，导函数 f (x) 在 (a, b) 内的图象如图所示，函数 f (x) 在开
区间 (a, b) 内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，
Ｃ． f (0) f (2) ≥ 2 f (1)
Ｄ． f (0) f (2) 2 f (1)
3. 解：依题意，当 x1 时，f（x）0，函数 f（x）在（1，＋）上是增函数；
当 x1 时，f（x）0，f（x）在（－，1）上是减函，故 f（x）当 x＝1 时取得最小值，
即有 f（0）f（1），f（2）f（1），故选 C
1.证明（Ⅰ）∵ f x x3 bx2 cx ，∴ f x 3x2 2bx c 。从而
g(x) f (x) f (x) x 3 bx 2 cx (3x 2 2bx c) ＝ x3 (b 3)x2 (c 2b)x c 是一个奇函 数，所以 g(0) 0 得 c 0 ，由奇函数定义得 b 3 ；
=
(x
1) (x a) (x 1)2
>0，
∴ a>1 时，P=R，a<1 时，P= ； 已知 M P ,所以选 C.
3．(2006 江西文、理)对于 R 上可导的任意函数 f (x) ，若满足 (x 1) f (x) ≥ 0 ，则必有（ ）
Ａ． f (0) f (2) 2 f (1)
Ｂ． f (0) f (2) ≤ 2 f (1)
2. (2006 安徽理)（本大题满分 12 分）已知函数 f x 在 R 上有定义，对任何实数 a 0 和任何实
数 x ，都有 f ax af x
3 sin(
3x
)
2sin(
6
3x ) ，为奇函数，∴
φ= .
6
三、解答题：
1.（2006 安徽文）（本大题满分 12 分）设函数 f x x3 bx2 cx(x R ) ，已知 g(x) f (x) f (x)
是奇函数。
（Ⅰ）求 b 、 c 的值。 （Ⅱ）求 g(x) 的单调区间与极值。
选A.
7. (2006 浙江文) f (x) x3 3x2 2 在区间 1,1 上的最大值是（ ）
第 1页 （共 20页）
(A)-2
(B)0
(C)2
(D)4
7.解：f (x) 3x2 6x 3x(x 2) ，令 f (x) 0 可得 x＝0 或 2（2 舍去），当－1x0 时，f (x) 0，